代数示例

$\frac{y^{2}}{25} - \frac{{(x - 6)}^{2}}{144} = 1$

Step 1

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

$\frac{y^{2}}{25} - \frac{{(x - 6)}^{2}}{144} = 1$

Step 2

这是双曲线的形式。使用此形式可确定用于求双曲线顶点和渐近线的值。

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Step 3

将该双曲线中的值匹配至标准形式的值。变量 $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量， $a$ 。

$a = 5$

$b = 12$

$k = 0$

$h = 6$

Step 4

双曲线的中心符合 $(h, k)$ 的形式。代入 $h$ 和 $k$ 的值。

$(6, 0)$

Step 5

求处 $c$ ，即从中点到焦点的距离。

点击获取更多步骤...

使用以下公式求从双曲线中心到焦点的距离。

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\sqrt{{(5)}^{2} + {(12)}^{2}}$

化简。

点击获取更多步骤...

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{25 + {(12)}^{2}}$

对 $12$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{25 + 144}$

将 $25$ 和 $144$ 相加。

$\sqrt{169}$

将 $169$ 重写为 $13^{2}$ 。

$\sqrt{13^{2}}$

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$13$

Step 6

求顶点。

点击获取更多步骤...

双曲线的第一个顶点可通过 $k$ 加上 $a$ 求得。

$(h, k + a)$

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(6, 5)$

双曲线的第二个顶点可通过从 $k$ 中减去 $a$ 求得。

$(h, k - a)$

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(6, - 5)$

双曲线的顶点符合 $(h, k \pm a)$ 的形式。双曲线有两个顶点。

$(6, 5), (6, - 5)$

Step 7

求焦点。

点击获取更多步骤...

双曲线的第一个焦点可通过 $c$ 加上 $k$ 求得。

$(h, k + c)$

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(6, 13)$

双曲线的第二个焦点可通过从 $k$ 中减去 $c$ 求得。

$(h, k - c)$

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(6, - 13)$

双曲线的焦点遵循 $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ 的形式。双曲线有两个焦点。

$(6, 13), (6, - 13)$

Step 8

求离心率。

点击获取更多步骤...

用下面的公式求离心率。

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} + {(12)}^{2}}}{5}$

化简分子。

点击获取更多步骤...

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{25 + 12^{2}}}{5}$

对 $12$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{25 + 144}}{5}$

将 $25$ 和 $144$ 相加。

$\frac{\sqrt{169}}{5}$

将 $169$ 重写为 $13^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{13^{2}}}{5}$

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{13}{5}$

Step 9

求焦点参数。

点击获取更多步骤...

通过使用下面的公式求双曲线焦点参数的值。

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

将 $b$ 和 $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 的值代入公式。

$\frac{12^{2}}{13}$

对 $12$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{144}{13}$

Step 10

因为双曲线为上下开口，所以渐近线满足 $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ 形式。

$y = \pm \frac{5}{12} \cdot (x - (6)) + 0$

Step 11

化简求第一条渐近线。

点击获取更多步骤...

去掉圆括号。

$y = \frac{5}{12} \cdot (x - (6)) + 0$

化简 $\frac{5}{12} \cdot (x - (6)) + 0$ 。

点击获取更多步骤...

化简表达式。

点击获取更多步骤...

将 $\frac{5}{12} \cdot (x - (6))$ 和 $0$ 相加。

$y = \frac{5}{12} \cdot (x - (6))$

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$y = \frac{5}{12} \cdot (x - 6)$

运用分配律。

$y = \frac{5}{12} x + \frac{5}{12} \cdot - 6$

组合 $\frac{5}{12}$ 和 $x$ 。

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} \cdot - 6$

约去 $6$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

从 $12$ 中分解出因数 $6$ 。

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{6 (2)} \cdot - 6$

从 $- 6$ 中分解出因数 $6$ 。

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 1)$

约去公因数。

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 1)$

重写表达式。

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{2} \cdot - 1$

组合 $\frac{5}{2}$ 和 $- 1$ 。

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5 \cdot - 1}{2}$

化简表达式。

点击获取更多步骤...

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{- 5}{2}$

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{5 x}{12} - \frac{5}{2}$

Step 12

化简求第二条渐近线。

点击获取更多步骤...

去掉圆括号。

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x - (6)) + 0$

化简 $- \frac{5}{12} \cdot (x - (6)) + 0$ 。

点击获取更多步骤...

化简项。

点击获取更多步骤...

将 $- \frac{5}{12} \cdot (x - (6))$ 和 $0$ 相加。

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x - (6))$

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x - 6)$

运用分配律。

$y = - \frac{5}{12} x - \frac{5}{12} \cdot - 6$

组合 $x$ 和 $\frac{5}{12}$ 。

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} - \frac{5}{12} \cdot - 6$

约去 $6$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

将 $- \frac{5}{12}$ 中前置负号移到分子中。

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{12} \cdot - 6$

从 $12$ 中分解出因数 $6$ 。

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{6 (2)} \cdot - 6$

从 $- 6$ 中分解出因数 $6$ 。

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 1)$

约去公因数。

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 1)$

重写表达式。

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{2} \cdot - 1$

组合 $\frac{- 5}{2}$ 和 $- 1$ 。

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5 \cdot - 1}{2}$

将 $- 5$ 乘以 $- 1$ 。

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{5}{2}$

将 $5$ 移到 $x$ 的左侧。

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{2}$

Step 13

该双曲线有两条渐近线。

$y = \frac{5 x}{12} - \frac{5}{2}, y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{2}$

Step 14

这些值代表的是绘制和分析双曲线时的重要数值。

中心点： $(6, 0)$

顶点： $(6, 5), (6, - 5)$

焦点： $(6, 13), (6, - 13)$

离心率： $\frac{13}{5}$

焦点参数： $\frac{144}{13}$

渐近线： $y = \frac{5 x}{12} - \frac{5}{2}$ ， $y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{2}$

Step 15

代数 示例

代数示例