代数示例

$\frac{18}{x (x^{2} + 9)}$

Step 1

分解分数并乘以公分母。

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对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于因式为二阶，分子中必须要有 $2$ 项。分子中必须包含的项数始终等于分母中的因式阶数。

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 9}$

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $x (x^{2} + 9)$ 。

$\frac{18 (x (x^{2} + 9))}{x (x^{2} + 9)} = \frac{A (x (x^{2} + 9))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

约去 $x$ 的公因数。

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约去公因数。

$\frac{18 (x (x^{2} + 9))}{x (x^{2} + 9)} = \frac{A (x (x^{2} + 9))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

重写表达式。

$\frac{18 (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9} = \frac{A (x (x^{2} + 9))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

约去 $x^{2} + 9$ 的公因数。

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约去公因数。

$\frac{18 (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9} = \frac{A (x (x^{2} + 9))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

用 $18$ 除以 $1$ 。

$18 = \frac{A (x (x^{2} + 9))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

化简每一项。

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约去 $x$ 的公因数。

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约去公因数。

$18 = \frac{A (x (x^{2} + 9))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

用 $A (x^{2} + 9)$ 除以 $1$ 。

$18 = A (x^{2} + 9) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

运用分配律。

$18 = A x^{2} + A \cdot 9 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

将 $9$ 移到 $A$ 的左侧。

$18 = A x^{2} + 9 \cdot A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

约去 $x^{2} + 9$ 的公因数。

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约去公因数。

$18 = A x^{2} + 9 A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

用 $(B x + C) (x)$ 除以 $1$ 。

$18 = A x^{2} + 9 A + (B x + C) (x)$

运用分配律。

$18 = A x^{2} + 9 A + B x \cdot x + C x$

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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移动 $x$ 。

$18 = A x^{2} + 9 A + B (x \cdot x) + C x$

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$18 = A x^{2} + 9 A + B x^{2} + C x$

化简表达式。

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将 $C$ 和 $x$ 重新排序。

$18 = A x^{2} + 9 A + B x^{2} + C x$

移动 $9 A$ 。

$18 = A x^{2} + B x^{2} + C x + 9 A$

Step 2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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使方程两边 $x^{2}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = A + B$

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = C$

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$18 = 9 A$

建立方程组以求部分分式的系数。

$0 = A + B$

$0 = C$

$18 = 9 A$

$0 = A + B$

$0 = C$

$18 = 9 A$

Step 3

求解方程组。

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将方程重写为 $C = 0$ 。

$C = 0$

$0 = A + B$

$18 = 9 A$

将每个方程中所有出现的 $C$ 替换成 $0$ 。

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将方程重写为 $9 A = 18$ 。

$9 A = 18$

$C = 0$

$0 = A + B$

将 $9 A = 18$ 中的每一项除以 $9$ 并化简。

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将 $9 A = 18$ 中的每一项都除以 $9$ 。

$\frac{9 A}{9} = \frac{18}{9}$

$C = 0$

$0 = A + B$

化简左边。

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约去 $9$ 的公因数。

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约去公因数。

$\frac{9 A}{9} = \frac{18}{9}$

$C = 0$

$0 = A + B$

用 $A$ 除以 $1$ 。

$A = \frac{18}{9}$

$C = 0$

$0 = A + B$

$A = \frac{18}{9}$

$C = 0$

$0 = A + B$

$A = \frac{18}{9}$

$C = 0$

$0 = A + B$

化简右边。

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用 $18$ 除以 $9$ 。

$A = 2$

$C = 0$

$0 = A + B$

$A = 2$

$C = 0$

$0 = A + B$

$A = 2$

$C = 0$

$0 = A + B$

$A = 2$

$C = 0$

$0 = A + B$

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $2$ 。

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使用 $2$ 替换 $0 = A + B$ 中所有出现的 $A$ .

$0 = (2) + B$

$A = 2$

$C = 0$

化简右边。

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去掉圆括号。

$0 = 2 + B$

$A = 2$

$C = 0$

$0 = 2 + B$

$A = 2$

$C = 0$

$0 = 2 + B$

$A = 2$

$C = 0$

在 $0 = 2 + B$ 中求解 $B$ 。

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将方程重写为 $2 + B = 0$ 。

$2 + B = 0$

$A = 2$

$C = 0$

从等式两边同时减去 $2$ 。

$B = - 2$

$A = 2$

$C = 0$

$B = - 2$

$A = 2$

$C = 0$

Solve the system of equations $B = - 2 A = 2 C = 0$ .

$B = - 2 A = 2 C = 0$

列出所有解。

$B = - 2, A = 2, C = 0$

Step 4

将 $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 9}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 的值。

$\frac{2}{x} + \frac{- 2 x + 0}{x^{2} + 9}$

Step 5

化简。

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去掉圆括号。

$\frac{2}{x} + \frac{(- 2) \cdot x + 0}{x^{2} + 9}$

将 $(- 2) \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2}{x} + \frac{- 2 x}{x^{2} + 9}$

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