代数示例

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - x + 3$

Step 1

判断函数是否为奇、偶或两者皆非，从而找出其对称性。

1. 如果为奇函数，则关于原点对称。

2. 如果为偶函数，则关于 y 轴对称。

Step 2

求 $f (- x)$ 。

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通过代入 $- x$ 替换 $f (x)$ 中所有出现的 $x$ 来求 $f (- x)$ 。

$f (- x) = {(- x)}^{3} - 3 {(- x)}^{2} - (- x) + 3$

化简每一项。

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对 $- x$ 运用乘积法则。

$f (- x) = {(- 1)}^{3} x^{3} - 3 {(- x)}^{2} - (- x) + 3$

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- x) = - x^{3} - 3 {(- x)}^{2} - (- x) + 3$

对 $- x$ 运用乘积法则。

$f (- x) = - x^{3} - 3 ({(- 1)}^{2} x^{2}) - (- x) + 3$

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- x) = - x^{3} - 3 (1 x^{2}) - (- x) + 3$

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (- x) = - x^{3} - 3 x^{2} - (- x) + 3$

乘以 $- (- x)$ 。

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将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- x) = - x^{3} - 3 x^{2} + 1 x + 3$

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f (- x) = - x^{3} - 3 x^{2} + x + 3$

Step 3

如果一个函数满足 $f (- x) = f (x)$ ，那么它是一个偶函数。

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判断 $f (- x) = f (x)$ 是否成立。

$- x^{3} - 3 x^{2} + x + 3$ $\neq$ $x^{3} - 3 x^{2} - x + 3$

因为 $- x^{3} - 3 x^{2} + x + 3$ $\neq$ $x^{3} - 3 x^{2} - x + 3$ ，所以该函数不是偶函数。

该函数不是偶函数

Step 4

如果一个函数满足 $f (- x) = - f (x)$ ，那么它是一个奇函数。

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求 $- f (x)$ 。

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将 $x^{3} - 3 x^{2} - x + 3$ 乘以 $- 1$ 。

$- f (x) = - (x^{3} - 3 x^{2} - x + 3)$

运用分配律。

$- f (x) = - x^{3} - (- 3 x^{2}) + x - 1 \cdot 3$

化简。

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将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$- f (x) = - x^{3} + 3 x^{2} + x - 1 \cdot 3$

乘以 $- - x$ 。

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将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- f (x) = - x^{3} + 3 x^{2} + 1 x - 1 \cdot 3$

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$- f (x) = - x^{3} + 3 x^{2} + x - 1 \cdot 3$

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- f (x) = - x^{3} + 3 x^{2} + x - 3$

因为 $- x^{3} - 3 x^{2} + x + 3$ $\neq$ $- x^{3} + 3 x^{2} + x - 3$ ，所以该函数不是奇函数。

该函数不是奇函数

Step 5

该函数既不是奇函数也不是偶函数

Step 6

因为函数不是奇函数，所以没有关于原点对称。

不存在原点对称

Step 7

因为函数不是偶函数，所以没有关于 y 轴对称。

不存在 y 轴对称

Step 8

因为函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以没有关于原点 / y 轴对称。

函数不对称

Step 9

代数 示例

代数示例