代数示例

$2 \sin (x) \cos (y) = 1$

Step 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d y} (2 \sin (x) \cos (y)) = \frac{d}{d y} (1)$

Step 2

对方程左边求微分。

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因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 \sin (x) \cos (y)$ 对 $y$ 的导数是 $2 \frac{d}{d y} [\sin (x) \cos (y)]$ 。

$2 \frac{d}{d y} [\sin (x) \cos (y)]$

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 等于 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ，其中 $f (y) = \sin (x)$ 且 $g (y) = \cos (y)$ 。

$2 (\sin (x) \frac{d}{d y} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d y} [\sin (x)])$

$\cos (y)$ 对 $y$ 的导数为 $- \sin (y)$ 。

$2 (\sin (x) (- \sin (y)) + \cos (y) \frac{d}{d y} [\sin (x)])$

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = \sin (y)$ 且 $g (y) = x$ 。

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要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x$ 。

$2 (\sin (x) (- \sin (y)) + \cos (y) (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [x]))$

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$2 (\sin (x) (- \sin (y)) + \cos (y) (\cos (u) \frac{d}{d y} [x]))$

使用 $x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (\sin (x) (- \sin (y)) + \cos (y) (\cos (x) \frac{d}{d y} [x]))$

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$2 (\sin (x) (- \sin (y)) + \cos (y) \cos (x) x')$

化简。

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运用分配律。

$2 (\sin (x) (- \sin (y))) + 2 (\cos (y) \cos (x) x')$

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 \sin (x) \sin (y) + 2 \cos (y) \cos (x) x'$

重新排序项。

$- 2 \sin (x) \sin (y) + 2 \cos (x) \cos (y) x'$

Step 3

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0$

Step 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$- 2 \sin (x) \sin (y) + 2 \cos (x) \cos (y) x' = 0$

Step 5

求解 $x'$ 。

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化简左边。

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将 $- 2 \sin (x) \sin (y) + 2 \cos (x) \cos (y) x'$ 中的因式重新排序。

$- 2 \sin (x) \sin (y) + 2 x' \cos (x) \cos (y) = 0$

在等式两边都加上 $2 \sin (x) \sin (y)$ 。

$2 x' \cos (x) \cos (y) = 2 \sin (x) \sin (y)$

将 $2 x' \cos (x) \cos (y) = 2 \sin (x) \sin (y)$ 中的每一项除以 $2 \cos (x) \cos (y)$ 并化简。

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将 $2 x' \cos (x) \cos (y) = 2 \sin (x) \sin (y)$ 中的每一项都除以 $2 \cos (x) \cos (y)$ 。

$\frac{2 x' \cos (x) \cos (y)}{2 \cos (x) \cos (y)} = \frac{2 \sin (x) \sin (y)}{2 \cos (x) \cos (y)}$

化简左边。

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约去 $2$ 的公因数。

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约去公因数。

$\frac{2 x' \cos (x) \cos (y)}{2 \cos (x) \cos (y)} = \frac{2 \sin (x) \sin (y)}{2 \cos (x) \cos (y)}$

重写表达式。

$\frac{x' \cos (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)} = \frac{2 \sin (x) \sin (y)}{2 \cos (x) \cos (y)}$

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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约去公因数。

$\frac{x' \cos (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)} = \frac{2 \sin (x) \sin (y)}{2 \cos (x) \cos (y)}$

重写表达式。

$\frac{x' \cos (y)}{\cos (y)} = \frac{2 \sin (x) \sin (y)}{2 \cos (x) \cos (y)}$

约去 $\cos (y)$ 的公因数。

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约去公因数。

$\frac{x' \cos (y)}{\cos (y)} = \frac{2 \sin (x) \sin (y)}{2 \cos (x) \cos (y)}$

用 $x'$ 除以 $1$ 。

$x' = \frac{2 \sin (x) \sin (y)}{2 \cos (x) \cos (y)}$

化简右边。

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约去 $2$ 的公因数。

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约去公因数。

$x' = \frac{2 \sin (x) \sin (y)}{2 \cos (x) \cos (y)}$

重写表达式。

$x' = \frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y)}$

分离分数。

$x' = \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$x' = \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \tan (x)$

将 $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ 转换成 $\tan (y)$ 。

$x' = \tan (y) \tan (x)$

Step 6

使用 $\frac{d x}{d y}$ 替换 $x'$ 。

$\frac{d x}{d y} = \tan (y) \tan (x)$

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