代数示例

$\ln^{2} (x)$

Step 1

将 $\ln^{2} (x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = \ln^{2} (x)$

Step 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

Step 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \ln^{2} (x) d x$

Step 4

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln^{2} (x)$ ， $d v = 1$ 。

$\ln^{2} (x) x - \int x \frac{\ln (x^{2})}{x} d x$

Step 5

化简。

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组合 $x$ 和 $\frac{\ln (x^{2})}{x}$ 。

$\ln^{2} (x) x - \int \frac{x \ln (x^{2})}{x} d x$

约去 $x$ 的公因数。

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约去公因数。

$\ln^{2} (x) x - \int \frac{x \ln (x^{2})}{x} d x$

用 $\ln (x^{2})$ 除以 $1$ 。

$\ln^{2} (x) x - \int \ln (x^{2}) d x$

Step 6

将 $\ln (x^{2})$ 重写为 $2 \ln (x)$ 。

$\ln^{2} (x) x - \int 2 \ln (x) d x$

Step 7

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\ln^{2} (x) x - (2 \int \ln (x) d x)$

Step 8

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln^{2} (x) x - 2 \int \ln (x) d x$

Step 9

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (x)$ ， $d v = 1$ 。

$\ln^{2} (x) x - 2 (\ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x)$

Step 10

化简。

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组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\ln^{2} (x) x - 2 (\ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

约去 $x$ 的公因数。

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约去公因数。

$\ln^{2} (x) x - 2 (\ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

重写表达式。

$\ln^{2} (x) x - 2 (\ln (x) x - \int d x)$

Step 11

应用常数不变法则。

$\ln^{2} (x) x - 2 (\ln (x) x - (x + C))$

Step 12

将 $\ln^{2} (x) x - 2 (\ln (x) x - (x + C))$ 重写为 $\ln^{2} (x) x - 2 \ln (x) x + 2 x + C$ 。

$\ln^{2} (x) x - 2 \ln (x) x + 2 x + C$

Step 13

答案是函数 $f (x) = \ln^{2} (x)$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\ln^{2} (x) x - 2 \ln (x) x + 2 x + C$

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