代数示例

$y = \log_{9} (x)$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \log_{9} (y)$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $\log_{9} (y) = x$ 。

$\log_{9} (y) = x$

解题步骤 2.2

使用对数的定义将 $\log_{9} (y) = x$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$9^{x} = y$

解题步骤 2.3

将方程重写为 $y = 9^{x}$ 。

$y = 9^{x}$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 9^{x}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = 9^{x}$ 是否为 $f (x) = \log_{9} (x)$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\log_{9} (x))$ 。

$f^{- 1} (\log_{9} (x)) = 9^{\log_{9} (x)}$

解题步骤 4.2.3

指数函数和对数函数互为反函数。

$f^{- 1} (\log_{9} (x)) = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (9^{x})$ 。

$f (9^{x}) = \log_{9} (9^{x})$

解题步骤 4.3.3

使用对数规则把 $x$ 移到指数外部。

$f (9^{x}) = x \log_{9} (9)$

解题步骤 4.3.4

$9$ 的对数底 $9$ 的值为 $1$ 。

$f (9^{x}) = x \cdot 1$

解题步骤 4.3.5

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f (9^{x}) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = 9^{x}$ 为 $f (x) = \log_{9} (x)$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = 9^{x}$

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