代数示例

$\ln (2 x)$

Step 1

交换变量。

$x = \ln (2 y)$

Step 2

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

将方程重写为 $\ln (2 y) = x$ 。

$\ln (2 y) = x$

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (2 y)} = e^{x}$

使用对数的定义将 $\ln (2 y) = x$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{x} = 2 y$

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

将方程重写为 $2 y = e^{x}$ 。

$2 y = e^{x}$

将 $2 y = e^{x}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

点击获取更多步骤...

将 $2 y = e^{x}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 y}{2} = \frac{e^{x}}{2}$

化简左边。

点击获取更多步骤...

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

约去公因数。

$\frac{2 y}{2} = \frac{e^{x}}{2}$

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{e^{x}}{2}$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{2}$

Step 4

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{2}$ 是否为 $f (x) = \ln (2 x)$ 的反函数。

点击获取更多步骤...

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

点击获取更多步骤...

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\ln (2 x))$ 。

$f^{- 1} (\ln (2 x)) = \frac{e^{\ln (2 x)}}{2}$

指数函数和对数函数互为反函数。

$f^{- 1} (\ln (2 x)) = \frac{2 x}{2}$

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

约去公因数。

$f^{- 1} (\ln (2 x)) = \frac{2 x}{2}$

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (\ln (2 x)) = x$

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

点击获取更多步骤...

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{e^{x}}{2})$ 。

$f (\frac{e^{x}}{2}) = \ln (2 (\frac{e^{x}}{2}))$

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

约去公因数。

$f (\frac{e^{x}}{2}) = \ln (2 (\frac{e^{x}}{2}))$

重写表达式。

$f (\frac{e^{x}}{2}) = \ln (e^{x})$

使用对数规则把 $x$ 移到指数外部。

$f (\frac{e^{x}}{2}) = x \ln (e)$

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$f (\frac{e^{x}}{2}) = x \cdot 1$

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{e^{x}}{2}) = x$

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{2}$ 为 $f (x) = \ln (2 x)$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{2}$

代数 示例

代数示例