代数示例

$\ln (| \ln (5 x) |)$

Step 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = | \ln (5 x) |$ 。

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要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $| \ln (5 x) |$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| \ln (5 x) |]$

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| \ln (5 x) |]$

使用 $| \ln (5 x) |$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{| \ln (5 x) |} \frac{d}{d x} [| \ln (5 x) |]$

Step 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = | x |$ 且 $g (x) = \ln (5 x)$ 。

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要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\ln (5 x)$ 。

$\frac{1}{| \ln (5 x) |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [\ln (5 x)])$

$| u_{2} |$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ 。

$\frac{1}{| \ln (5 x) |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)])$

使用 $\ln (5 x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{| \ln (5 x) |} (\frac{\ln (5 x)}{| \ln (5 x) |} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)])$

Step 3

将 $\frac{\ln (5 x)}{| \ln (5 x) |}$ 乘以 $\frac{1}{| \ln (5 x) |}$ 。

$\frac{\ln (5 x)}{| \ln (5 x) | | \ln (5 x) |} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]$

Step 4

要将绝对值相乘，请将每个绝对值内的项相乘。

$\frac{\ln (5 x)}{| \ln (5 x) \ln (5 x) |} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]$

Step 5

对 $\ln (5 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\ln (5 x)}{| \ln^{1} (5 x) \ln (5 x) |} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]$

Step 6

对 $\ln (5 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\ln (5 x)}{| \ln^{1} (5 x) \ln^{1} (5 x) |} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]$

Step 7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\ln (5 x)}{| {\ln (5 x)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]$

Step 8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\ln (5 x)}{| \ln^{2} (5 x) |} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]$

Step 9

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 5 x$ 。

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要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $5 x$ 。

$\frac{\ln (5 x)}{| \ln^{2} (5 x) |} (\frac{d}{d u_{3}} [\ln (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x])$

$\ln (u_{3})$ 对 $u_{3}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{3}}$ 。

$\frac{\ln (5 x)}{| \ln^{2} (5 x) |} (\frac{1}{u_{3}} \frac{d}{d x} [5 x])$

使用 $5 x$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$\frac{\ln (5 x)}{| \ln^{2} (5 x) |} (\frac{1}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])$

Step 10

求微分。

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将 $\frac{1}{5 x}$ 乘以 $\frac{\ln (5 x)}{| \ln^{2} (5 x) |}$ 。

$\frac{\ln (5 x)}{5 x | \ln^{2} (5 x) |} \frac{d}{d x} [5 x]$

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\ln (5 x)}{5 x | \ln^{2} (5 x) |} (5 \frac{d}{d x} [x])$

化简项。

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组合 $5$ 和 $\frac{\ln (5 x)}{5 x | \ln^{2} (5 x) |}$ 。

$\frac{5 \ln (5 x)}{5 x | \ln^{2} (5 x) |} \frac{d}{d x} [x]$

约去 $5$ 的公因数。

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约去公因数。

$\frac{5 \ln (5 x)}{5 x | \ln^{2} (5 x) |} \frac{d}{d x} [x]$

重写表达式。

$\frac{\ln (5 x)}{x | \ln^{2} (5 x) |} \frac{d}{d x} [x]$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\ln (5 x)}{x | \ln^{2} (5 x) |} \cdot 1$

将 $\frac{\ln (5 x)}{x | \ln^{2} (5 x) |}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\ln (5 x)}{x | \ln^{2} (5 x) |}$

Step 11

化简。

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从绝对值中去掉非负项。

$\frac{\ln (5 x)}{x \ln^{2} (5 x)}$

约去 $\ln (5 x)$ 和 $\ln^{2} (5 x)$ 的公因数。

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乘以 $1$ 。

$\frac{\ln (5 x) \cdot 1}{x \ln^{2} (5 x)}$

约去公因数。

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从 $x \ln^{2} (5 x)$ 中分解出因数 $\ln (5 x)$ 。

$\frac{\ln (5 x) \cdot 1}{\ln (5 x) (x \ln (5 x))}$

约去公因数。

$\frac{\ln (5 x) \cdot 1}{\ln (5 x) (x \ln (5 x))}$

重写表达式。

$\frac{1}{x \ln (5 x)}$

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