代数示例

$f (x) = \log_{4} (x)$

Step 1

将 $f (x) = \log_{4} (x)$ 写为等式。

$y = \log_{4} (x)$

Step 2

交换变量。

$x = \log_{4} (y)$

Step 3

求解 $y$ 。

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将方程重写为 $\log_{4} (y) = x$ 。

$\log_{4} (y) = x$

使用对数的定义将 $\log_{4} (y) = x$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$4^{x} = y$

将方程重写为 $y = 4^{x}$ 。

$y = 4^{x}$

Step 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 4^{x}$

Step 5

验证 $f^{- 1} (x) = 4^{x}$ 是否为 $f (x) = \log_{4} (x)$ 的反函数。

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要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\log_{4} (x))$ 。

$f^{- 1} (\log_{4} (x)) = 4^{\log_{4} (x)}$

指数函数和对数函数互为反函数。

$f^{- 1} (\log_{4} (x)) = x$

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (4^{x})$ 。

$f (4^{x}) = \log_{4} (4^{x})$

使用对数规则把 $x$ 移到指数外部。

$f (4^{x}) = x \log_{4} (4)$

$4$ 的对数底 $4$ 的值为 $1$ 。

$f (4^{x}) = x \cdot 1$

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f (4^{x}) = x$

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = 4^{x}$ 为 $f (x) = \log_{4} (x)$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = 4^{x}$

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