代数示例

$y = x^{2} + 1$

Step 1

交换变量。

$x = y^{2} + 1$

Step 2

求解 $y$ 。

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将方程重写为 $y^{2} + 1 = x$ 。

$y^{2} + 1 = x$

从等式两边同时减去 $1$ 。

$y^{2} = x - 1$

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{x - 1}$

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt{x - 1}$

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \sqrt{x - 1}$

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt{x - 1}$

$y = - \sqrt{x - 1}$

$y = \sqrt{x - 1}$

$y = - \sqrt{x - 1}$

$y = \sqrt{x - 1}$

$y = - \sqrt{x - 1}$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x - 1}, - \sqrt{x - 1}$

Step 4

验证 $f^{- 1} (x) = \sqrt{x - 1}, - \sqrt{x - 1}$ 是否为 $f (x) = x^{2} + 1$ 的反函数。

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反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求 $f (x) = x^{2} + 1$ 和 $f^{- 1} (x) = \sqrt{x - 1}, - \sqrt{x - 1}$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

求 $f (x) = x^{2} + 1$ 的值域。

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值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$[1, \infty)$

求 $\sqrt{x - 1}$ 的定义域。

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将 $\sqrt{x - 1}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x - 1 \geq 0$

在不等式两边同时加上 $1$ 。

$x \geq 1$

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$[1, \infty)$

求 $f (x) = x^{2} + 1$ 的定义域。

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表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

$(- \infty, \infty)$

由于 $f^{- 1} (x) = \sqrt{x - 1}, - \sqrt{x - 1}$ 的定义域为 $f (x) = x^{2} + 1$ 的值域，而 $f^{- 1} (x) = \sqrt{x - 1}, - \sqrt{x - 1}$ 的值域又为 $f (x) = x^{2} + 1$ 的定义域，因此 $f^{- 1} (x) = \sqrt{x - 1}, - \sqrt{x - 1}$ 为 $f (x) = x^{2} + 1$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x - 1}, - \sqrt{x - 1}$

Step 5

代数 示例

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