初级微积分示例

$[\begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & 7 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

解题步骤 1

乘以 $[\begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & 7 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}]$ 。

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解题步骤 1.1

当且仅当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，这两个矩阵才可以相乘。在本例中，第一个矩阵是 $2 \times 2$ ，第二个矩阵是 $2 \times 1$ 。

解题步骤 1.2

将第一个矩阵中的每一行乘以第二个矩阵中的每一列。

$[\begin{array}{c} 2 x + 3 y \\ 4 x + 7 y \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

解题步骤 2

写成线性方程组。

$2 x + 3 y = 1$

$4 x + 7 y = 1$

解题步骤 3

求解方程组。

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解题步骤 3.1

在 $2 x + 3 y = 1$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1.1

从等式两边同时减去 $3 y$ 。

$2 x = 1 - 3 y$

$4 x + 7 y = 1$

解题步骤 3.1.2

将 $2 x = 1 - 3 y$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.1.2.1

将 $2 x = 1 - 3 y$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2} + \frac{- 3 y}{2}$

$4 x + 7 y = 1$

解题步骤 3.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2} + \frac{- 3 y}{2}$

$4 x + 7 y = 1$

解题步骤 3.1.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{1}{2} + \frac{- 3 y}{2}$

$4 x + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} + \frac{- 3 y}{2}$

$4 x + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} + \frac{- 3 y}{2}$

$4 x + 7 y = 1$

解题步骤 3.1.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.1.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

$4 x + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

$4 x + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

$4 x + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

$4 x + 7 y = 1$

解题步骤 3.2

将每个方程中所有出现的 $x$ 替换成 $\frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用 $\frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$ 替换 $4 x + 7 y = 1$ 中所有出现的 $x$ .

$4 (\frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}) + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $4 (\frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}) + 7 y$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.1.1

运用分配律。

$4 (\frac{1}{2}) + 4 (- \frac{3 y}{2}) + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

解题步骤 3.2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2) (\frac{1}{2}) + 4 (- \frac{3 y}{2}) + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

解题步骤 3.2.2.1.1.2.2

约去公因数。

$2 \cdot (2 (\frac{1}{2})) + 4 (- \frac{3 y}{2}) + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

解题步骤 3.2.2.1.1.2.3

重写表达式。

$2 + 4 (- \frac{3 y}{2}) + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

$2 + 4 (- \frac{3 y}{2}) + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

解题步骤 3.2.2.1.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1.3.1

将 $- \frac{3 y}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$2 + 4 (\frac{- 3 y}{2}) + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

解题步骤 3.2.2.1.1.3.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 + 2 (2) (\frac{- 3 y}{2}) + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

解题步骤 3.2.2.1.1.3.3

约去公因数。

$2 + 2 \cdot (2 (\frac{- 3 y}{2})) + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

解题步骤 3.2.2.1.1.3.4

重写表达式。

$2 + 2 (- 3 y) + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

$2 + 2 (- 3 y) + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

解题步骤 3.2.2.1.1.4

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$2 - 6 y + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

$2 - 6 y + 7 y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

解题步骤 3.2.2.1.2

将 $- 6 y$ 和 $7 y$ 相加。

$2 + y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

$2 + y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

$2 + y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

$2 + y = 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

解题步骤 3.3

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.3.1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$y = 1 - 2$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

解题步骤 3.3.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$y = - 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

$y = - 1$

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$

解题步骤 3.4

将每个方程中所有出现的 $y$ 替换成 $- 1$ 。

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解题步骤 3.4.1

使用 $- 1$ 替换 $x = \frac{1}{2} - \frac{3 y}{2}$ 中所有出现的 $y$ .

$x = \frac{1}{2} - \frac{3 (- 1)}{2}$

$y = - 1$

解题步骤 3.4.2

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.1

化简 $\frac{1}{2} - \frac{3 (- 1)}{2}$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.1

在公分母上合并分子。

$x = \frac{1 - 3 \cdot - 1}{2}$

$y = - 1$

解题步骤 3.4.2.1.2

化简表达式。

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解题步骤 3.4.2.1.2.1

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{1 + 3}{2}$

$y = - 1$

解题步骤 3.4.2.1.2.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$x = \frac{4}{2}$

$y = - 1$

解题步骤 3.4.2.1.2.3

用 $4$ 除以 $2$ 。

$x = 2$

$y = - 1$

$x = 2$

$y = - 1$

$x = 2$

$y = - 1$

$x = 2$

$y = - 1$

$x = 2$

$y = - 1$

解题步骤 3.5

列出所有解。

$x = 2, y = - 1$

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