线性代数示例

$[\begin{array}{c} 1 \\ - 7 \\ 1 \end{array}] \times [\begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ 4 \end{array}]$

解题步骤 1

向量 $a⃗$ 和 $b⃗$ 的交叉乘积可以写成包含 $ℝ^{3}$ 中标准单位向量以及给定向量的元素的行列式。

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array} |$

解题步骤 2

用给定值设置行列式。

$| \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ 1 & - 7 & 1 \\ 5 & 2 & 4 \end{array} |$

解题步骤 3

选择包含最多 $0$ 元素的行或列。如果没有 $0$ 元素，选择任何一行或一列。将第 $1$ 行中的每个元素乘以其代数余子式，然后相加。

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解题步骤 3.1

考虑相应的符号表。

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 3.2

代数余子式是指在索引与符号图上的 $-$ 位置匹配的情况下符号发生更改的子式。

解题步骤 3.3

$a_{11}$ 的子式是已删除了行 $1$ 和列 $1$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} |$

解题步骤 3.4

将元素 $a_{11}$ 乘以其代数余子式。

$| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} | î$

解题步骤 3.5

$a_{12}$ 的子式是已删除了行 $1$ 和列 $2$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} |$

解题步骤 3.6

将元素 $a_{12}$ 乘以其代数余子式。

$- | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ$

解题步骤 3.7

$a_{13}$ 的子式是已删除了行 $1$ 和列 $3$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} |$

解题步骤 3.8

将元素 $a_{13}$ 乘以其代数余子式。

$| \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

解题步骤 3.9

最后把这些项加起来。

$| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

解题步骤 4

计算 $| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} |$ 。

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解题步骤 4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$(- 7 \cdot 4 - 2 \cdot 1) î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

解题步骤 4.2

化简行列式。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

将 $- 7$ 乘以 $4$ 。

$(- 28 - 2 \cdot 1) î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

解题步骤 4.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$(- 28 - 2) î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

解题步骤 4.2.2

从 $- 28$ 中减去 $2$ 。

$- 30 î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

解题步骤 5

计算 $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} |$ 。

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解题步骤 5.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- 30 î - (1 \cdot 4 - 5 \cdot 1) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

解题步骤 5.2

化简行列式。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$- 30 î - (4 - 5 \cdot 1) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

解题步骤 5.2.1.2

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$- 30 î - (4 - 5) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

解题步骤 5.2.2

从 $4$ 中减去 $5$ 。

$- 30 î - - 1 ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

解题步骤 6

计算 $| \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} |$ 。

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解题步骤 6.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- 30 î - - 1 ĵ + (1 \cdot 2 - 5 \cdot - 7) k̂$

解题步骤 6.2

化简行列式。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- 30 î - - 1 ĵ + (2 - 5 \cdot - 7) k̂$

解题步骤 6.2.1.2

将 $- 5$ 乘以 $- 7$ 。

$- 30 î - - 1 ĵ + (2 + 35) k̂$

解题步骤 6.2.2

将 $2$ 和 $35$ 相加。

$- 30 î - - 1 ĵ + 37 k̂$

解题步骤 7

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- 30 î + 1 ĵ + 37 k̂$

解题步骤 8

重写解答。

$[\begin{array}{c} - 30 \\ 1 \\ 37 \end{array}]$

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