微积分学示例

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{1 + n^{2}}$

解题步骤 1

要确定级数是否收敛，先确定数列的积分是否收敛。

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 2

将积分表示为 $t$ 趋于 $\infty$ 时的极限。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 3

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

解题步骤 4

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\arctan (x)]_{1}^{t}$ 。

$lim_{t \to \infty} \arctan (x)]_{1}^{t}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

计算 $\arctan (x)$ 在 $t$ 处和在 $1$ 处的值。

$lim_{t \to \infty} (\arctan (t)) - \arctan (1)$

解题步骤 5.2

去掉圆括号。

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (1)$

解题步骤 6

计算极限值。

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解题步骤 6.1

当 $t$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - lim_{t \to \infty} \arctan (1)$

解题步骤 6.2

当 $t$ 趋于 $\infty$ 时，极限为 $\frac{π}{2}$ 。

$\frac{π}{2} - lim_{t \to \infty} \arctan (1)$

解题步骤 6.3

计算 $\arctan (1)$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{π}{2} - \arctan (1)$

解题步骤 6.4

化简答案。

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解题步骤 6.4.1

$\arctan (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$\frac{π}{2} - \frac{π}{4}$

解题步骤 6.4.2

要将 $\frac{π}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

解题步骤 6.4.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 6.4.3.1

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

解题步骤 6.4.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 6.4.4

在公分母上合并分子。

$\frac{π \cdot 2 - π}{4}$

解题步骤 6.4.5

化简分子。

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解题步骤 6.4.5.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot π - π}{4}$

解题步骤 6.4.5.2

从 $2 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{π}{4}$

解题步骤 7

由于积分是收敛的，级数也是收敛的。

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