微积分学示例

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1 d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{4} d x + \int 2 x^{3} d x + \int - 8 x d x + \int d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$\frac{1}{5} x^{5} + C + \int 2 x^{3} d x + \int - 8 x d x + \int d x$

解题步骤 5

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 \int x^{3} d x + \int - 8 x d x + \int d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 8 x d x + \int d x$

解题步骤 7

由于 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 8$ 移到积分外。

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 8 \int x d x + \int d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int d x$

解题步骤 9

应用常数不变法则。

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + x + C$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简。

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解题步骤 10.1.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + x + C$

解题步骤 10.1.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 8 (\frac{x^{2}}{2} + C) + x + C$

解题步骤 10.2

化简。

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{x^{4}}{2} - 4 x^{2} + x + C$

解题步骤 10.3

重新排序项。

$\frac{1}{5} x^{5} + \frac{1}{2} x^{4} - 4 x^{2} + x + C$

解题步骤 11

答案是函数 $f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{1}{2} x^{4} - 4 x^{2} + x + C$

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