微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + y = \sin (x)$

解题步骤 1

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = 1$ 。

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解题步骤 1.1

建立积分。

$e^{\int d x}$

解题步骤 1.2

应用常数不变法则。

$e^{x + C}$

解题步骤 1.3

去掉积分常数。

$e^{x}$

解题步骤 2

每一项乘以积分因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 2.1

每一项乘以 $e^{x}$ 。

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \sin (x)$

解题步骤 2.2

将 $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \sin (x)$ 中的因式重新排序。

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = e^{x} \sin (x)$

解题步骤 3

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = e^{x} \sin (x)$

解题步骤 4

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int e^{x} \sin (x) d x$

解题步骤 5

对左边积分。

$e^{x} y = \int e^{x} \sin (x) d x$

解题步骤 6

对右边积分。

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解题步骤 6.1

将 $e^{x}$ 和 $\sin (x)$ 重新排序。

$e^{x} y = \int \sin (x) e^{x} d x$

解题步骤 6.2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \sin (x)$ ， $d v = e^{x}$ 。

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x$

解题步骤 6.3

将 $e^{x}$ 和 $\cos (x)$ 重新排序。

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - \int \cos (x) e^{x} d x$

解题步骤 6.4

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \cos (x)$ ， $d v = e^{x}$ 。

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x)$

解题步骤 6.5

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

解题步骤 6.6

通过相乘进行化简。

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解题步骤 6.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

解题步骤 6.6.2

将 $\int e^{x} (\sin (x)) d x$ 乘以 $1$ 。

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

解题步骤 6.6.3

运用分配律。

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x}) - \int e^{x} (\sin (x)) d x$

解题步骤 6.7

求解 $\int e^{x} \sin (x) d x$ ，我们发现 $\int e^{x} \sin (x) d x$ = $\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2}$ 。

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2} + C$

解题步骤 6.8

将 $\frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2} + C$ 重写为 $\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$ 。

$e^{x} y = \frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$

解题步骤 7

求解 $y$ 。

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解题步骤 7.1

化简。

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解题步骤 7.1.1

运用分配律。

$e^{x} y = \frac{1}{2} (\sin (x) e^{x}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x}) + C$

解题步骤 7.1.2

乘以 $\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x})$ 。

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解题步骤 7.1.2.1

组合 $\sin (x)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{x} y = \frac{\sin (x)}{2} e^{x} + \frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x}) + C$

解题步骤 7.1.2.2

组合 $\frac{\sin (x)}{2}$ 和 $e^{x}$ 。

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x}}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x}) + C$

解题步骤 7.1.3

乘以 $\frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x})$ 。

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解题步骤 7.1.3.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\cos (x)$ 。

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x}}{2} - \frac{\cos (x)}{2} e^{x} + C$

解题步骤 7.1.3.2

组合 $e^{x}$ 和 $\frac{\cos (x)}{2}$ 。

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x}}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$

解题步骤 7.1.4

将 $\frac{\sin (x) e^{x}}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2}$ 中的因式重新排序。

$e^{x} y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$

解题步骤 7.2

将 $e^{x} y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$ 中的每一项除以 $e^{x}$ 并化简。

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解题步骤 7.2.1

将 $e^{x} y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$ 中的每一项都除以 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{e^{x} \sin (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 7.2.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.2.1

约去 $e^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{e^{x} \sin (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 7.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\frac{e^{x} \sin (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 7.2.3

化简右边。

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解题步骤 7.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.3.1.1

将分子乘以分母的倒数。

$y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 7.2.3.1.2

合并。

$y = \frac{e^{x} \sin (x) \cdot 1}{2 e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 7.2.3.1.3

约去 $e^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.1.3.1

约去公因数。

$y = \frac{e^{x} \sin (x) \cdot 1}{2 e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 7.2.3.1.3.2

重写表达式。

$y = \frac{\sin (x) \cdot 1}{2} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 7.2.3.1.4

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 7.2.3.1.5

将分子乘以分母的倒数。

$y = \frac{\sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 7.2.3.1.6

约去 $e^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.1.6.1

将 $- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{- e^{x} \cos (x)}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 7.2.3.1.6.2

从 $- e^{x} \cos (x)$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{e^{x} (- 1 \cos (x))}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 7.2.3.1.6.3

约去公因数。

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{e^{x} (- 1 \cos (x))}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 7.2.3.1.6.4

重写表达式。

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{- 1 \cos (x)}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 7.2.3.1.7

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

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