微积分学示例

$y' = 2 y$ , $y = c e^{2 x}$ , $y (0) = 3$

解题步骤 1

验证给定的解是否满足微分方程。

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解题步骤 1.1

求 $y'$ 。

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解题步骤 1.1.1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (c e^{2 x})$

解题步骤 1.1.2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 1.1.3

对方程右边求微分。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $c$ 对于 $x$ 是常数，所以 $c e^{2 x}$ 对 $x$ 的导数是 $c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ 。

$c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

解题步骤 1.1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 1.1.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$c (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 1.1.3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$c (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 1.1.3.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$c (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 1.1.3.3

求微分。

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解题步骤 1.1.3.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$c e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.1.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$c e^{2 x} (2 \cdot 1)$

解题步骤 1.1.3.3.3

化简表达式。

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解题步骤 1.1.3.3.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$c e^{2 x} \cdot 2$

解题步骤 1.1.3.3.3.2

将 $2$ 移到 $c e^{2 x}$ 的左侧。

$2 \cdot (c e^{2 x})$

解题步骤 1.1.3.4

化简。

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解题步骤 1.1.3.4.1

重新排序 $2 c e^{2 x}$ 的因式。

$2 e^{2 x} c$

解题步骤 1.1.3.4.2

将 $2 e^{2 x} c$ 中的因式重新排序。

$2 c e^{2 x}$

解题步骤 1.1.4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = 2 c e^{2 x}$

解题步骤 1.2

代入给定的微分方程。

$2 c e^{2 x} = 2 (c e^{2 x})$

解题步骤 1.3

去掉圆括号。

$2 c e^{2 x} = 2 c e^{2 x}$

解题步骤 1.4

给定的解满足给定微分方程。

$y = c e^{2 x}$ 是 $y' = 2 y$ 的解

解题步骤 2

代入初始条件。

$3 = c e^{2 \cdot 0}$

解题步骤 3

求解 $c$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $c e^{2 \cdot 0} = 3$ 。

$c e^{2 \cdot 0} = 3$

解题步骤 3.2

化简 $c e^{2 \cdot 0}$ 。

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解题步骤 3.2.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$c e^{0} = 3$

解题步骤 3.2.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$c \cdot 1 = 3$

解题步骤 3.2.3

将 $c$ 乘以 $1$ 。

$c = 3$

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