微积分学示例

$\frac{d y}{d x} - x = x^{2}$ , $(- 2, 2)$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

在等式两边都加上 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = x^{2} + x$

解题步骤 1.2

重写该方程。

$d y = (x^{2} + x) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int x^{2} + x d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int x^{2} + x d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{1} = \int x^{2} d x + \int x d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int x d x$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{3}$

解题步骤 2.3.4

化简。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $- 2$ 代入 $x$ ，将 $2$ 代入 $y$ ，在 $y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$ 中求 $K$ 的值。

$2 = \frac{1}{3} {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K = 2$ 。

$\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K = 2$

解题步骤 4.2

化简 $\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K$ 。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{3} \cdot - 8 + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K = 2$

解题步骤 4.2.1.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 8$ 。

$\frac{- 8}{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K = 2$

解题步骤 4.2.1.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K = 2$

解题步骤 4.2.1.4

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot 4 + K = 2$

解题步骤 4.2.1.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.5.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot (2 (2)) + K = 2$

解题步骤 4.2.1.5.2

约去公因数。

$- \frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) + K = 2$

解题步骤 4.2.1.5.3

重写表达式。

$- \frac{8}{3} + 2 + K = 2$

解题步骤 4.2.2

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{8}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} + K = 2$

解题步骤 4.2.3

组合 $2$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + K = 2$

解题步骤 4.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{- 8 + 2 \cdot 3}{3} + K = 2$

解题步骤 4.2.5

化简分子。

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解题步骤 4.2.5.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 8 + 6}{3} + K = 2$

解题步骤 4.2.5.2

将 $- 8$ 和 $6$ 相加。

$\frac{- 2}{3} + K = 2$

解题步骤 4.2.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{3} + K = 2$

解题步骤 4.3

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.3.1

在等式两边都加上 $\frac{2}{3}$ 。

$K = 2 + \frac{2}{3}$

解题步骤 4.3.2

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$K = 2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}$

解题步骤 4.3.3

组合 $2$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$K = \frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{2}{3}$

解题步骤 4.3.4

在公分母上合并分子。

$K = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3}$

解题步骤 4.3.5

化简分子。

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解题步骤 4.3.5.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$K = \frac{6 + 2}{3}$

解题步骤 4.3.5.2

将 $6$ 和 $2$ 相加。

$K = \frac{8}{3}$

解题步骤 5

代入 $\frac{8}{3}$ 替换 $y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $\frac{8}{3}$ 替换 $K$ 。

$y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{8}{3}$

解题步骤 5.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{8}{3}$

解题步骤 5.2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{8}{3}$

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