微积分学示例

$f (x) = x^{2} - 4$

解题步骤 1

考思考一下导数的极限定义。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = {(x + h)}^{2} - 4$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.1

将 ${(x + h)}^{2}$ 重写为 $(x + h) (x + h)$ 。

$f (x + h) = (x + h) (x + h) - 4$

解题步骤 2.1.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + h) (x + h)$ 。

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解题步骤 2.1.2.1.2.1

运用分配律。

$f (x + h) = x (x + h) + h (x + h) - 4$

解题步骤 2.1.2.1.2.2

运用分配律。

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h) - 4$

解题步骤 2.1.2.1.2.3

运用分配律。

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h - 4$

解题步骤 2.1.2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h - 4$

解题步骤 2.1.2.1.3.1.2

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} - 4$

解题步骤 2.1.2.1.3.2

将 $x h$ 和 $h x$ 相加。

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解题步骤 2.1.2.1.3.2.1

将 $x$ 和 $h$ 重新排序。

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} - 4$

解题步骤 2.1.2.1.3.2.2

将 $h x$ 和 $h x$ 相加。

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} - 4$

解题步骤 2.1.2.2

最终答案为 $x^{2} + 2 h x + h^{2} - 4$ 。

$x^{2} + 2 h x + h^{2} - 4$

解题步骤 2.2

重新排序。

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解题步骤 2.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$2 h x + h^{2} + x^{2} - 4$

解题步骤 2.2.2

将 $2 h x$ 和 $h^{2}$ 重新排序。

$h^{2} + 2 h x + x^{2} - 4$

解题步骤 2.3

求定义的补集。

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} - 4$

$f (x) = x^{2} - 4$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} - 4$

$f (x) = x^{2} - 4$

解题步骤 3

插入分量。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 4 - (x^{2} - 4)}{h}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

运用分配律。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 4 - x^{2} + 4}{h}$

解题步骤 4.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 4 - x^{2} + 4}{h}$

解题步骤 4.1.3

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 0 - 4 + 4}{h}$

解题步骤 4.1.4

将 $h^{2}$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 4 + 4}{h}$

解题步骤 4.1.5

将 $- 4$ 和 $4$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 0}{h}$

解题步骤 4.1.6

将 $h^{2} + 2 h x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x}{h}$

解题步骤 4.1.7

从 $h^{2} + 2 h x$ 中分解出因数 $h$ 。

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解题步骤 4.1.7.1

从 $h^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h + 2 h x}{h}$

解题步骤 4.1.7.2

从 $2 h x$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x)}{h}$

解题步骤 4.1.7.3

从 $h (h) + h (2 x)$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x)}{h}$

解题步骤 4.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 4.2.1

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x)}{h}$

解题步骤 4.2.1.2

用 $h + 2 x$ 除以 $1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} h + 2 x$

解题步骤 4.2.2

将 $h$ 和 $2 x$ 重新排序。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 x + h$

解题步骤 5

计算极限值。

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解题步骤 5.1

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h$

解题步骤 5.2

计算 $2 x$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$2 x + lim_{h \to 0} h$

解题步骤 6

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$2 x + 0$

解题步骤 7

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 8

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