微积分学示例

${(x^{3} - 2 x)}^{2}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{3} - 2 x$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{3} - 2 x$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x]$

解题步骤 1.3

使用 $x^{3} - 2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{3} - 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

$2 (x^{3} - 2 x) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$2 (x^{3} - 2 x) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

解题步骤 2.3

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 (x^{3} - 2 x) (3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (x^{3} - 2 x) (3 x^{2} - 2 \cdot 1)$

解题步骤 2.5

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$2 (x^{3} - 2 x) (3 x^{2} - 2)$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$(2 x^{3} + 2 (- 2 x)) (3 x^{2} - 2)$

解题步骤 3.2

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$(2 x^{3} - 4 x) (3 x^{2} - 2)$

解题步骤 3.3

使用 FOIL 方法展开 $(2 x^{3} - 4 x) (3 x^{2} - 2)$ 。

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解题步骤 3.3.1

运用分配律。

$2 x^{3} (3 x^{2} - 2) - 4 x (3 x^{2} - 2)$

解题步骤 3.3.2

运用分配律。

$2 x^{3} (3 x^{2}) + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2} - 2)$

解题步骤 3.3.3

运用分配律。

$2 x^{3} (3 x^{2}) + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

解题步骤 3.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.4.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 \cdot 3 x^{3} x^{2} + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

解题步骤 3.4.1.2

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.1.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$2 \cdot 3 (x^{2} x^{3}) + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

解题步骤 3.4.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \cdot 3 x^{2 + 3} + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

解题步骤 3.4.1.2.3

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$2 \cdot 3 x^{5} + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

解题步骤 3.4.1.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$6 x^{5} + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

解题步骤 3.4.1.4

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

解题步骤 3.4.1.5

使用乘法的交换性质重写。

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 \cdot 3 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot - 2$

解题步骤 3.4.1.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.1.6.1

移动 $x^{2}$ 。

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 \cdot 3 (x^{2} x) - 4 x \cdot - 2$

解题步骤 3.4.1.6.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.4.1.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 \cdot 3 (x^{2} x^{1}) - 4 x \cdot - 2$

解题步骤 3.4.1.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 \cdot 3 x^{2 + 1} - 4 x \cdot - 2$

解题步骤 3.4.1.6.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 \cdot 3 x^{3} - 4 x \cdot - 2$

解题步骤 3.4.1.7

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 12 x^{3} - 4 x \cdot - 2$

解题步骤 3.4.1.8

将 $- 2$ 乘以 $- 4$ 。

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 12 x^{3} + 8 x$

解题步骤 3.4.2

从 $- 4 x^{3}$ 中减去 $12 x^{3}$ 。

$6 x^{5} - 16 x^{3} + 8 x$

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