Lượng giác Ví dụ

$11 x^{2} - 25 y^{2} + 22 x + 250 y - 889 = 0$

Bước 1

Tìm dạng chính tắc của hyperbol.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Cộng $889$ cho cả hai vế của phương trình.

$11 x^{2} - 25 y^{2} + 22 x + 250 y = 889$

Bước 1.2

Hoàn thành bình phương cho $11 x^{2} + 22 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 11$

$b = 22$

$c = 0$

Bước 1.2.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.2.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{22}{2 \cdot 11}$

Bước 1.2.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $22$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $22$ .

$d = \frac{2 \cdot 11}{2 \cdot 11}$

Bước 1.2.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 11$ .

$d = \frac{2 \cdot 11}{2 (11)}$

Bước 1.2.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot 11}{2 \cdot 11}$

Bước 1.2.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{11}{11}$

Bước 1.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $11$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{11}{11}$

Bước 1.2.3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$d = 1$

Bước 1.2.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{22^{2}}{4 \cdot 11}$

Bước 1.2.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1.1

Nâng $22$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{484}{4 \cdot 11}$

Bước 1.2.4.2.1.2

Nhân $4$ với $11$ .

$e = 0 - \frac{484}{44}$

Bước 1.2.4.2.1.3

Chia $484$ cho $44$ .

$e = 0 - 1 \cdot 11$

Bước 1.2.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $11$ .

$e = 0 - 11$

Bước 1.2.4.2.2

Trừ $11$ khỏi $0$ .

$e = - 11$

Bước 1.2.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $11 {(x + 1)}^{2} - 11$ .

$11 {(x + 1)}^{2} - 11$

Bước 1.3

Thay $11 {(x + 1)}^{2} - 11$ cho $11 x^{2} + 22 x$ trong phương trình $11 x^{2} - 25 y^{2} + 22 x + 250 y = 889$ .

$11 {(x + 1)}^{2} - 11 - 25 y^{2} + 250 y = 889$

Bước 1.4

Di chuyển $- 11$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $11$ vào cả hai vế.

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 y^{2} + 250 y = 889 + 11$

Bước 1.5

Hoàn thành bình phương cho $- 25 y^{2} + 250 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = - 25$

$b = 250$

$c = 0$

Bước 1.5.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.5.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{250}{2 \cdot - 25}$

Bước 1.5.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $250$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $250$ .

$d = \frac{2 \cdot 125}{2 \cdot - 25}$

Bước 1.5.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot - 25$ .

$d = \frac{2 \cdot 125}{2 (- 25)}$

Bước 1.5.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot 125}{2 \cdot - 25}$

Bước 1.5.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{125}{- 25}$

Bước 1.5.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $125$ và $- 25$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.2.1

Đưa $25$ ra ngoài $125$ .

$d = \frac{25 (5)}{- 25}$

Bước 1.5.3.2.2.2

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{5}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 5$

Bước 1.5.3.2.3

Nhân $- 1$ với $5$ .

$d = - 5$

Bước 1.5.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{250^{2}}{4 \cdot - 25}$

Bước 1.5.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1.1

Nâng $250$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{62500}{4 \cdot - 25}$

Bước 1.5.4.2.1.2

Nhân $4$ với $- 25$ .

$e = 0 - \frac{62500}{- 100}$

Bước 1.5.4.2.1.3

Chia $62500$ cho $- 100$ .

$e = 0 - - 625$

Bước 1.5.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $- 625$ .

$e = 0 + 625$

Bước 1.5.4.2.2

Cộng $0$ và $625$ .

$e = 625$

Bước 1.5.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $- 25 {(y - 5)}^{2} + 625$ .

$- 25 {(y - 5)}^{2} + 625$

Bước 1.6

Thay $- 25 {(y - 5)}^{2} + 625$ cho $- 25 y^{2} + 250 y$ trong phương trình $11 x^{2} - 25 y^{2} + 22 x + 250 y = 889$ .

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 {(y - 5)}^{2} + 625 = 889 + 11$

Bước 1.7

Di chuyển $625$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $625$ vào cả hai vế.

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 {(y - 5)}^{2} = 889 + 11 - 625$

Bước 1.8

Rút gọn $889 + 11 - 625$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Cộng $889$ và $11$ .

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 {(y - 5)}^{2} = 900 - 625$

Bước 1.8.2

Trừ $625$ khỏi $900$ .

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 {(y - 5)}^{2} = 275$

Bước 1.9

Chia mỗi số hạng cho $275$ để làm cho vế phải bằng một.

$\frac{11 {(x + 1)}^{2}}{275} - \frac{25 {(y - 5)}^{2}}{275} = \frac{275}{275}$

Bước 1.10

Rút gọn từng số hạng trong phương trình để đặt vế phải bằng $1$ . Dạng chính tắc của hình elip hoặc hyperbol yêu cầu phía vế phải của phương trình bằng $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{25} - \frac{{(y - 5)}^{2}}{11} = 1$

Bước 2

Đây là dạng của một hyperbol. Sử dụng dạng này để xác định các giá trị được sử dụng để tìm các đỉnh và các tiệm cận của hyperbol.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Bước 3

Tương ứng các giá trị trong hyperbol này với dạng chính tắc. Biến $h$ là khoảng cách theo trục x tính từ gốc tọa độ, $k$ là khoảng cách theo trục y tính từ gốc tọa độ, $a$ .

$a = 5$

$b = \sqrt{11}$

$k = 5$

$h = - 1$

Bước 4

Tìm các đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Có thể tìm đỉnh đầu tiên của một hyperbol bằng cách cộng $a$ vào $h$ .

$(h + a, k)$

Bước 4.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(4, 5)$

Bước 4.3

Có thể tìm đỉnh thứ hai của một hyperbol bằng cách trừ $a$ từ $h$ .

$(h - a, k)$

Bước 4.4

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(- 6, 5)$

Bước 4.5

Các đỉnh của một hyperbol có dạng $(h \pm a, k)$ . Hyperbol có hai đỉnh.

$(4, 5), (- 6, 5)$

Bước 5