Lượng giác Ví dụ

$f (x) = 3^{x} - 1$

Bước 1

Viết $f (x) = 3^{x} - 1$ ở dạng một phương trình.

$y = 3^{x} - 1$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = 3^{y} - 1$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $3^{y} - 1 = x$ .

$3^{y} - 1 = x$

Bước 3.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$3^{y} = x + 1$

Bước 3.3

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (3^{y}) = \ln (x + 1)$

Bước 3.4

Khai triển $\ln (3^{y})$ bằng cách di chuyển $y$ ra bên ngoài lôgarit.

$y \ln (3) = \ln (x + 1)$

Bước 3.5

Chia mỗi số hạng trong $y \ln (3) = \ln (x + 1)$ cho $\ln (3)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Chia mỗi số hạng trong $y \ln (3) = \ln (x + 1)$ cho $\ln (3)$ .

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}$

Bước 3.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}$

Bước 3.5.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}$ có là hàm ngược của $f (x) = 3^{x} - 1$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (3^{x} - 1)$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3^{x} - 1) = \frac{\ln ((3^{x} - 1) + 1)}{\ln (3)}$

Bước 5.2.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $3^{x} - 1 + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Cộng $- 1$ và $1$ .

$f^{- 1} (3^{x} - 1) = \frac{\ln (3^{x} + 0)}{\ln (3)}$

Bước 5.2.3.2

Cộng $3^{x}$ và $0$ .

$f^{- 1} (3^{x} - 1) = \frac{\ln (3^{x})}{\ln (3)}$

Bước 5.2.4

Khai triển $\ln (3^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$f^{- 1} (3^{x} - 1) = \frac{x \ln (3)}{\ln (3)}$

Bước 5.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (3^{x} - 1) = \frac{x \ln (3)}{\ln (3)}$

Bước 5.2.5.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f^{- 1} (3^{x} - 1) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}) = 3^{\frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}} - 1$

Bước 5.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Sử dụng quy tắc đổi cơ số $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}) = 3^{\log_{3} (x + 1)} - 1$

Bước 5.3.3.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f (\frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}) = x + 1 - 1$

Bước 5.3.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x + 1 - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$f (\frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}) = x + 0$

Bước 5.3.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f (\frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}$ là hàm ngược của $f (x) = 3^{x} - 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 1)}{\ln (3)}$