Lượng giác Ví dụ

$\cot (2 x) = \frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)}$

Bước 1

Trừ $\frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\cot (2 x) - \frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Bước 2

Rút gọn $\cot (2 x) - \frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\cot (2 x) - \frac{\cot^{2} (x) - 1^{2}}{2 \cot (x)} = 0$

Bước 2.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = \cot (x)$ và $b = 1$ .

$\cot (2 x) - \frac{(\cot (x) + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Bước 2.2

Để viết $\cot (2 x)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2 \cot (x)}{2 \cot (x)}$ .

$\cot (2 x) \cdot \frac{2 \cot (x)}{2 \cot (x)} - \frac{(\cot (x) + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Bước 2.3

Kết hợp $\cot (2 x)$ và $\frac{2 \cot (x)}{2 \cot (x)}$ .

$\frac{\cot (2 x) (2 \cot (x))}{2 \cot (x)} - \frac{(\cot (x) + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Bước 2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\cot (2 x) (2 \cot (x)) - (\cot (x) + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Bước 2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cot (2 x)$ .

$\frac{2 \cdot \cot (2 x) \cot (x) - (\cot (x) + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Bước 2.5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) + (- \cot (x) - 1 \cdot 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Bước 2.5.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) + (- \cot (x) - 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Bước 2.5.4

Khai triển $(- \cot (x) - 1) (\cot (x) - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot (x) (\cot (x) - 1) - 1 (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Bước 2.5.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot (x) \cot (x) - \cot (x) \cdot - 1 - 1 (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Bước 2.5.4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot (x) \cot (x) - \cot (x) \cdot - 1 - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Bước 2.5.5

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.5.1.1

Nhân $- \cot (x) \cot (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.5.1.1.1

Nâng $\cot (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - (\cot^{1} (x) \cot (x)) - \cot (x) \cdot - 1 - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Bước 2.5.5.1.1.2

Nâng $\cot (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) - \cot (x) \cdot - 1 - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Bước 2.5.5.1.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - {\cot (x)}^{1 + 1} - \cot (x) \cdot - 1 - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Bước 2.5.5.1.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) - \cot (x) \cdot - 1 - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Bước 2.5.5.1.2

Nhân $- \cot (x) \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.5.1.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + 1 \cot (x) - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Bước 2.5.5.1.2.2

Nhân $\cot (x)$ với $1$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + \cot (x) - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Bước 2.5.5.1.3

Viết lại $- 1 \cot (x)$ ở dạng $- \cot (x)$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + \cot (x) - \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Bước 2.5.5.1.4

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + \cot (x) - \cot (x) + 1}{2 \cot (x)} = 0$

Bước 2.5.5.2

Trừ $\cot (x)$ khỏi $\cot (x)$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + 0 + 1}{2 \cot (x)} = 0$

Bước 2.5.5.3

Cộng $- \cot^{2} (x)$ và $0$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + 1}{2 \cot (x)} = 0$

Bước 3

Đặt mẫu số trong $\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + 1}{2 \cot (x)}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$2 \cot (x) = 0$

Bước 4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Chia mỗi số hạng trong $2 \cot (x) = 0$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Chia mỗi số hạng trong $2 \cot (x) = 0$ cho $2$ .

$\frac{2 \cot (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 4.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cot (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 4.1.2.1.2

Chia $\cot (x)$ cho $1$ .

$\cot (x) = \frac{0}{2}$

Bước 4.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Chia $0$ cho $2$ .

$\cot (x) = 0$

Bước 4.2

Lấy nghịch đảo cotang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm cotang.

$x = arccot (0)$

Bước 4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Giá trị chính xác của $arccot (0)$ là $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Bước 4.4

Hàm cotang dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy thêm góc tham chiếu từ $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = π + \frac{π}{2}$

Bước 4.5

Rút gọn $π + \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Bước 4.5.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.1

Kết hợp $π$ và $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Bước 4.5.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Bước 4.5.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.3.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Bước 4.5.3.2

Cộng $2 π$ và $π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Bước 4.6

Tìm chu kỳ của $\cot (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Bước 4.6.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{π}{| 1 |}$

Bước 4.6.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{π}{1}$

Bước 4.6.4

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 4.7

Chu kỳ của hàm $\cot (x)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 4.8

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 5

Đặt đối số trong $\cot (2 x)$ bằng $π n$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$2 x = π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 6

Chia mỗi số hạng trong $2 x = π n$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = π n$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π n}{2}$

Bước 6.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π n}{2}$

Bước 6.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{π n}{2}$

Bước 7

Đặt đối số trong $\cot (x)$ bằng $π n$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x = π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 8

Phương trình không xác định tại mẫu số bằng $0$ , đối số của một căn bậc hai nhỏ hơn $0$ , hoặc đối số của một logarit nhỏ hơn hoặc bằng $0$ .

${x | x = \frac{π}{2} + π n, x = \frac{π n}{2}, x = π n}$ $n$ , đối với bất kỳ số nguyên $n$ nào

Bước 9