Lượng giác Ví dụ

$\ln (x - 2) - \ln (x + 2) = \ln (x - 1) - \ln (x + 8)$

Bước 1

Chuyển tất cả các biểu thức sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Trừ $\ln (x - 1)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\ln (x - 2) - \ln (x + 2) - \ln (x - 1) = - \ln (x + 8)$

Bước 1.2

Cộng $\ln (x + 8)$ cho cả hai vế của phương trình.

$\ln (x - 2) - \ln (x + 2) - \ln (x - 1) + \ln (x + 8) = 0$

Bước 2

Rút gọn $\ln (x - 2) - \ln (x + 2) - \ln (x - 1) + \ln (x + 8)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x - 2}{x + 2}) - \ln (x - 1) + \ln (x + 8) = 0$

Bước 2.2

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{x - 2}{x + 2}}{x - 1}) + \ln (x + 8) = 0$

Bước 2.3

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (\frac{\frac{x - 2}{x + 2}}{x - 1} (x + 8)) = 0$

Bước 2.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\ln (\frac{x - 2}{x + 2} \cdot \frac{1}{x - 1} (x + 8)) = 0$

Bước 2.5

Nhân $\frac{x - 2}{x + 2}$ với $\frac{1}{x - 1}$ .

$\ln (\frac{x - 2}{(x + 2) (x - 1)} (x + 8)) = 0$

Bước 2.6

Nhân $\frac{x - 2}{(x + 2) (x - 1)}$ với $x + 8$ .

$\ln (\frac{(x - 2) (x + 8)}{(x + 2) (x - 1)}) = 0$

Bước 3

Đặt mẫu số trong $\frac{(x - 2) (x + 8)}{(x + 2) (x - 1)}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$(x + 2) (x - 1) = 0$

Bước 4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Bước 4.2

Đặt $x + 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Đặt $x + 2$ bằng với $0$ .

$x + 2 = 0$

Bước 4.2.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 2$

Bước 4.3

Đặt $x - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Đặt $x - 1$ bằng với $0$ .

$x - 1 = 0$

Bước 4.3.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 1$

Bước 4.4

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(x + 2) (x - 1) = 0$ đúng.

$x = - 2, 1$

Bước 5

Đặt đối số trong $\ln (\frac{(x - 2) (x + 8)}{(x + 2) (x - 1)})$ nhỏ hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$\frac{(x - 2) (x + 8)}{(x + 2) (x - 1)} \leq 0$

Bước 6

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tìm tất cả các giá trị mà tại đó biểu thức chuyển từ âm sang dương bằng cách đặt từng thừa số bằng $0$ và giải.

$x - 2 = 0$

$x + 8 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Bước 6.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 6.3

Trừ $8$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 8$

Bước 6.4

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 2$

Bước 6.5

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 1$

Bước 6.6

Giải tìm từng thừa số để tìm các giá trị mà giá trị tuyệt đối của biểu thức đi từ âm sang dương.

$x = 2$

$x = - 8$

$x = - 2$

$x = 1$

Bước 6.7

Hợp nhất các đáp án.

$x = 2, - 8, - 2, 1$

Bước 6.8

Tìm tập xác định của $\frac{(x - 2) (x + 8)}{(x + 2) (x - 1)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.1

Đặt mẫu số trong $\frac{(x - 2) (x + 8)}{(x + 2) (x - 1)}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$(x + 2) (x - 1) = 0$

Bước 6.8.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.2.1

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Bước 6.8.2.2

Đặt $x + 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.2.2.1

Đặt $x + 2$ bằng với $0$ .

$x + 2 = 0$

Bước 6.8.2.2.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 2$

Bước 6.8.2.3

Đặt $x - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.2.3.1

Đặt $x - 1$ bằng với $0$ .

$x - 1 = 0$

Bước 6.8.2.3.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 1$

Bước 6.8.2.4

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(x + 2) (x - 1) = 0$ đúng.

$x = - 2, 1$

Bước 6.8.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 1) \cup (1, \infty)$

Bước 6.9

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - 8$

$- 8 < x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$1 < x < 2$

$x > 2$

Bước 6.10

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.10.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - 8$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.10.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - 8$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 10$

Bước 6.10.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 10$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{((- 10) - 2) ((- 10) + 8)}{((- 10) + 2) ((- 10) - 1)} \leq 0$

Bước 6.10.1.3

Vế trái $0.\overline{27}$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 6.10.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 8 < x < - 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.10.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 8 < x < - 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 5$

Bước 6.10.2.2

Thay thế $x$ bằng $- 5$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{((- 5) - 2) ((- 5) + 8)}{((- 5) + 2) ((- 5) - 1)} \leq 0$

Bước 6.10.2.3

Vế trái $- 1.1\overline{6}$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 6.10.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 2 < x < 1$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.10.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 2 < x < 1$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0$

Bước 6.10.3.2

Thay thế $x$ bằng $0$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{((0) - 2) ((0) + 8)}{((0) + 2) ((0) - 1)} \leq 0$

Bước 6.10.3.3

Vế trái $8$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 6.10.4

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $1 < x < 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.10.4.1

Chọn một giá trị trên khoảng $1 < x < 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 1.5$

Bước 6.10.4.2

Thay thế $x$ bằng $1.5$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{((1.5) - 2) ((1.5) + 8)}{((1.5) + 2) ((1.5) - 1)} \leq 0$

Bước 6.10.4.3

Vế trái $- 2.\overline{714285}$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 6.10.5

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.10.5.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 4$

Bước 6.10.5.2

Thay thế $x$ bằng $4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{((4) - 2) ((4) + 8)}{((4) + 2) ((4) - 1)} \leq 0$

Bước 6.10.5.3

Vế trái $1.\overline{3}$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 6.10.6

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - 8$ Sai

$- 8 < x < - 2$ Đúng

$- 2 < x < 1$ Sai

$1 < x < 2$ Đúng

$x > 2$ Sai

$x < - 8$ Sai

$- 8 < x < - 2$ Đúng

$- 2 < x < 1$ Sai

$1 < x < 2$ Đúng

$x > 2$ Sai

Bước 6.11

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$- 8 \leq x < - 2$ hoặc $1 < x \leq 2$

Bước 7

Phương trình không xác định tại mẫu số bằng $0$ , đối số của một căn bậc hai nhỏ hơn $0$ , hoặc đối số của một logarit nhỏ hơn hoặc bằng $0$ .

$- 8 \leq x \leq - 2, 1 \leq x \leq 2$

$[- 8, - 2] \cup [1, 2]$

Bước 8