Lượng giác Ví dụ

$\sqrt{3} \cdot \cos^{2} (x) - 2 \sin (x) = 0$

Bước 1

Thay thế $\cos^{2} (x)$ bằng $1 - \sin^{2} (x)$ dựa trên đẳng thức $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$\sqrt{3} (1 - \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Bước 2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Bước 2.2

Nhân $\sqrt{3}$ với $1$ .

$\sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Bước 3

Sắp xếp lại đa thức.

$\sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) + \sqrt{3} = 0$

Bước 4

Thay $u$ bằng $\sin (x)$ .

$\sqrt{3} (- {(u)}^{2}) - 2 u + \sqrt{3} = 0$

Bước 5

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 6

Thay các giá trị $a = - \sqrt{3}$ , $b = - 2$ , và $c = \sqrt{3}$ vào công thức bậc hai và giải tìm $u$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- \sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}}{2 (- \sqrt{3})}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Bước 7.1.2

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Bước 7.1.3

Nhân $4 \sqrt{3} \sqrt{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.3.1

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}}{2 (- \sqrt{3})}$

Bước 7.1.3.2

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}}{2 (- \sqrt{3})}$

Bước 7.1.3.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Bước 7.1.3.4

Cộng $1$ và $1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 {\sqrt{3}}^{2}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Bước 7.1.4

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Bước 7.1.4.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Bước 7.1.4.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Bước 7.1.4.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.4.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Bước 7.1.4.4.2

Viết lại biểu thức.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3}}{2 (- \sqrt{3})}$

Bước 7.1.4.5

Tính số mũ.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3}}{2 (- \sqrt{3})}$

Bước 7.1.5

Nhân $4$ với $3$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2 (- \sqrt{3})}$

Bước 7.1.6

Cộng $4$ và $12$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2 (- \sqrt{3})}$

Bước 7.1.7

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4^{2}}}{2 (- \sqrt{3})}$

Bước 7.1.8

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$u = \frac{2 \pm 4}{2 (- \sqrt{3})}$

Bước 7.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$u = \frac{2 \pm 4}{- 2 \sqrt{3}}$

Bước 7.3

Rút gọn $\frac{2 \pm 4}{- 2 \sqrt{3}}$ .

$u = \frac{1 \pm 2}{- \sqrt{3}}$

Bước 7.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$u = - \frac{1 \pm 2}{\sqrt{3}}$

Bước 7.5

Nhân $\frac{1 \pm 2}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$u = - (\frac{1 \pm 2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Bước 7.6

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.1

Nhân $\frac{1 \pm 2}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 7.6.2

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 7.6.3

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 7.6.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Bước 7.6.5

Cộng $1$ và $1$ .

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Bước 7.6.6

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 7.6.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 7.6.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 7.6.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 7.6.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3}$

Bước 7.6.6.5

Tính số mũ.

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3}$

Bước 7.7

Sắp xếp lại các thừa số trong $- \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3}$ .

$u = - \frac{\sqrt{3} (1 \pm 2)}{3}$

Bước 8

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$u = - \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}$

Bước 9

Thay $\sin (x)$ bằng $u$ .

$\sin (x) = - \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}$

Bước 10

Lập từng đáp án để giải tìm $x$ .

$\sin (x) = - \sqrt{3}$

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Bước 11

Giải tìm $x$ trong $\sin (x) = - \sqrt{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Khoảng biến thiên của sin là $- 1 \leq y \leq 1$ . Vì $- \sqrt{3}$ không nằm trong khoảng biến thiên này, nên không có đáp án.

Không có đáp án

Bước 12

Giải tìm $x$ trong $\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Bước 12.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Tính $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{3})$ .

$x = 0.6154797$

Bước 12.3

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$x = (3.14159265) - 0.6154797$

Bước 12.4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x = 3.14159265 - 0.6154797$

Bước 12.4.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x = (3.14159265) - 0.6154797$

Bước 12.4.3

Trừ $0.6154797$ khỏi $3.14159265$ .

$x = 2.52611294$

Bước 12.5

Tìm chu kỳ của $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 12.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 12.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 12.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 12.6

Chu kỳ của hàm $\sin (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 0.6154797 + 2 π n, 2.52611294 + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 13

Liệt kê tất cả các đáp án.

$x = 0.6154797 + 2 π n, 2.52611294 + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$