Giải tích sơ cấp Ví dụ

$y = (- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 3 x^{2} + 2)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = - 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4$ và $g (x) = - 3 x^{2} + 2$ .

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} + 2] + (- 3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4]$

Bước 2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 3 x^{2} + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]) + (- 3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x^{2}$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]) + (- 3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]) + (- 3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4]$

Bước 3.3

Nhân $2$ với $- 3$ .

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 6 x + \frac{d}{d x} [2]) + (- 3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4]$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 6 x + 0) + (- 3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4]$

Bước 4.2

Cộng $- 6 x$ và $0$ .

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 6 x) + (- 3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4]$

Bước 4.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 6 x) + (- 3 x^{2} + 2) (\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

Bước 5

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x^{4}$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 6 x) + (- 3 x^{2} + 2) (- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

Bước 5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 6 x) + (- 3 x^{2} + 2) (- 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

Bước 5.3

Nhân $4$ với $- 2$ .

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 6 x) + (- 3 x^{2} + 2) (- 8 x^{3} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

Bước 6

Tính $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x^{2}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 6 x) + (- 3 x^{2} + 2) (- 8 x^{3} + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

Bước 6.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 6 x) + (- 3 x^{2} + 2) (- 8 x^{3} + 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [4])$

Bước 6.3

Nhân $2$ với $5$ .

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 6 x) + (- 3 x^{2} + 2) (- 8 x^{3} + 10 x + \frac{d}{d x} [4])$

Bước 7

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 6 x) + (- 3 x^{2} + 2) (- 8 x^{3} + 10 x + 0)$

Bước 7.2

Cộng $- 8 x^{3} + 10 x$ và $0$ .

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 6 x) + (- 3 x^{2} + 2) (- 8 x^{3} + 10 x)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 2 x^{4} (- 6 x) + 5 x^{2} (- 6 x) + 4 (- 6 x) + (- 3 x^{2} + 2) (- 8 x^{3} + 10 x)$

Bước 8.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 2 x^{4} (- 6 x) + 5 x^{2} (- 6 x) + 4 (- 6 x) + (- 3 x^{2} + 2) (- 8 x^{3}) + (- 3 x^{2} + 2) (10 x)$

Bước 8.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 2 x^{4} (- 6 x) + 5 x^{2} (- 6 x) + 4 (- 6 x) - 3 x^{2} (- 8 x^{3}) + 2 (- 8 x^{3}) + (- 3 x^{2} + 2) (10 x)$

Bước 8.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 2 x^{4} (- 6 x) + 5 x^{2} (- 6 x) + 4 (- 6 x) - 3 x^{2} (- 8 x^{3}) + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

Bước 8.5

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Nhân $- 6$ với $- 2$ .

$12 x^{4} x + 5 x^{2} (- 6 x) + 4 (- 6 x) - 3 x^{2} (- 8 x^{3}) + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

Bước 8.5.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$12 (x^{1} x^{4}) + 5 x^{2} (- 6 x) + 4 (- 6 x) - 3 x^{2} (- 8 x^{3}) + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

Bước 8.5.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$12 x^{1 + 4} + 5 x^{2} (- 6 x) + 4 (- 6 x) - 3 x^{2} (- 8 x^{3}) + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

Bước 8.5.4

Cộng $1$ và $4$ .

$12 x^{5} + 5 x^{2} (- 6 x) + 4 (- 6 x) - 3 x^{2} (- 8 x^{3}) + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

Bước 8.5.5

Nhân $- 6$ với $5$ .

$12 x^{5} - 30 x^{2} x + 4 (- 6 x) - 3 x^{2} (- 8 x^{3}) + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

Bước 8.5.6

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$12 x^{5} - 30 (x^{1} x^{2}) + 4 (- 6 x) - 3 x^{2} (- 8 x^{3}) + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

Bước 8.5.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$12 x^{5} - 30 x^{1 + 2} + 4 (- 6 x) - 3 x^{2} (- 8 x^{3}) + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

Bước 8.5.8

Cộng $1$ và $2$ .

$12 x^{5} - 30 x^{3} + 4 (- 6 x) - 3 x^{2} (- 8 x^{3}) + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

Bước 8.5.9

Nhân $- 6$ với $4$ .

$12 x^{5} - 30 x^{3} - 24 x - 3 x^{2} (- 8 x^{3}) + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

Bước 8.5.10

Nhân $- 8$ với $- 3$ .

$12 x^{5} - 30 x^{3} - 24 x + 24 x^{2} x^{3} + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

Bước 8.5.11

Nhân $x^{2}$ với $x^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.11.1

Di chuyển $x^{3}$ .

$12 x^{5} - 30 x^{3} - 24 x + 24 (x^{3} x^{2}) + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

Bước 8.5.11.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$12 x^{5} - 30 x^{3} - 24 x + 24 x^{3 + 2} + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

Bước 8.5.11.3

Cộng $3$ và $2$ .

$12 x^{5} - 30 x^{3} - 24 x + 24 x^{5} + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

Bước 8.5.12

Nhân $- 8$ với $2$ .

$12 x^{5} - 30 x^{3} - 24 x + 24 x^{5} - 16 x^{3} - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

Bước 8.5.13

Nhân $10$ với $- 3$ .

$12 x^{5} - 30 x^{3} - 24 x + 24 x^{5} - 16 x^{3} - 30 x^{2} x + 2 (10 x)$

Bước 8.5.14

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$12 x^{5} - 30 x^{3} - 24 x + 24 x^{5} - 16 x^{3} - 30 (x^{1} x^{2}) + 2 (10 x)$

Bước 8.5.15

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$12 x^{5} - 30 x^{3} - 24 x + 24 x^{5} - 16 x^{3} - 30 x^{1 + 2} + 2 (10 x)$

Bước 8.5.16

Cộng $1$ và $2$ .

$12 x^{5} - 30 x^{3} - 24 x + 24 x^{5} - 16 x^{3} - 30 x^{3} + 2 (10 x)$

Bước 8.5.17

Nhân $10$ với $2$ .

$12 x^{5} - 30 x^{3} - 24 x + 24 x^{5} - 16 x^{3} - 30 x^{3} + 20 x$

Bước 8.5.18

Trừ $30 x^{3}$ khỏi $- 16 x^{3}$ .

$12 x^{5} - 30 x^{3} - 24 x + 24 x^{5} - 46 x^{3} + 20 x$

Bước 8.5.19

Cộng $12 x^{5}$ và $24 x^{5}$ .

$36 x^{5} - 30 x^{3} - 24 x - 46 x^{3} + 20 x$

Bước 8.5.20

Trừ $46 x^{3}$ khỏi $- 30 x^{3}$ .

$36 x^{5} - 76 x^{3} - 24 x + 20 x$

Bước 8.5.21

Cộng $- 24 x$ và $20 x$ .

$36 x^{5} - 76 x^{3} - 4 x$