Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{21} y = \frac{221}{2}$ , $x - \frac{1}{2} y = - 84$

Bước 1

Biểu thị hệ phương trình ở dạng ma trận.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{21} \\ 1 & - \frac{1}{2} \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{221}{2} \\ - 84 \end{array}]$

Bước 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{21} \\ 1 & - \frac{1}{2} \end{array}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Write $[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{21} \\ 1 & - \frac{1}{2} \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{21} \\ 1 & - \frac{1}{2} \end{array} |$

Bước 2.2

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2}) - \frac{1}{21}$

Bước 2.3

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2} - \frac{1}{21}$

Bước 2.3.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$- \frac{1}{4} - \frac{1}{21}$

Bước 2.3.2

Để viết $- \frac{1}{4}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{21}{21}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{21}{21} - \frac{1}{21}$

Bước 2.3.3

Để viết $- \frac{1}{21}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{21}{21} - \frac{1}{21} \cdot \frac{4}{4}$

Bước 2.3.4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $84$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{21}{21}$ .

$- \frac{21}{4 \cdot 21} - \frac{1}{21} \cdot \frac{4}{4}$

Bước 2.3.4.2

Nhân $4$ với $21$ .

$- \frac{21}{84} - \frac{1}{21} \cdot \frac{4}{4}$

Bước 2.3.4.3

Nhân $\frac{1}{21}$ với $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{21}{84} - \frac{4}{21 \cdot 4}$

Bước 2.3.4.4

Nhân $21$ với $4$ .

$- \frac{21}{84} - \frac{4}{84}$

Bước 2.3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 21 - 4}{84}$

Bước 2.3.6

Trừ $4$ khỏi $- 21$ .

$\frac{- 25}{84}$

Bước 2.3.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{25}{84}$

$D = - \frac{25}{84}$

Bước 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Bước 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} \frac{221}{2} \\ - 84 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} \frac{221}{2} & \frac{1}{21} \\ - 84 & - \frac{1}{2} \end{array} |$

Bước 4.2

Find the determinant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{221}{2} (- \frac{1}{2}) - (- 84 (\frac{1}{21}))$

Bước 4.2.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.1

Nhân $\frac{221}{2} (- \frac{1}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.1.1

Nhân $\frac{221}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{221}{2 \cdot 2} - (- 84 (\frac{1}{21}))$

Bước 4.2.2.1.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$- \frac{221}{4} - (- 84 (\frac{1}{21}))$

Bước 4.2.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $21$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.2.1

Đưa $21$ ra ngoài $- 84$ .

$- \frac{221}{4} - (21 (- 4) \frac{1}{21})$

Bước 4.2.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{221}{4} - (21 \cdot - 4 \frac{1}{21})$

Bước 4.2.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{221}{4} - - 4$

Bước 4.2.2.1.3

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$- \frac{221}{4} + 4$

Bước 4.2.2.2

Để viết $4$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{221}{4} + 4 \cdot \frac{4}{4}$

Bước 4.2.2.3

Kết hợp $4$ và $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{221}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4}$

Bước 4.2.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 221 + 4 \cdot 4}{4}$

Bước 4.2.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.5.1

Nhân $4$ với $4$ .

$\frac{- 221 + 16}{4}$

Bước 4.2.2.5.2

Cộng $- 221$ và $16$ .

$\frac{- 205}{4}$

Bước 4.2.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{205}{4}$

$D_{x} = - \frac{205}{4}$

Bước 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Bước 4.4

Substitute $- \frac{25}{84}$ for $D$ and $- \frac{205}{4}$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{- \frac{205}{4}}{- \frac{25}{84}}$

Bước 4.5

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$x = \frac{\frac{205}{4}}{\frac{25}{84}}$

Bước 4.6

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x = \frac{205}{4} \cdot \frac{84}{25}$

Bước 4.7

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Đưa $5$ ra ngoài $205$ .

$x = \frac{5 (41)}{4} \cdot \frac{84}{25}$

Bước 4.7.2

Đưa $5$ ra ngoài $25$ .

$x = \frac{5 \cdot 41}{4} \cdot \frac{84}{5 \cdot 5}$

Bước 4.7.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = \frac{5 \cdot 41}{4} \cdot \frac{84}{5 \cdot 5}$

Bước 4.7.4

Viết lại biểu thức.

$x = \frac{41}{4} \cdot \frac{84}{5}$

Bước 4.8

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1

Đưa $4$ ra ngoài $84$ .

$x = \frac{41}{4} \cdot \frac{4 (21)}{5}$

Bước 4.8.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = \frac{41}{4} \cdot \frac{4 \cdot 21}{5}$

Bước 4.8.3

Viết lại biểu thức.

$x = 41 (\frac{21}{5})$

Bước 4.9

Kết hợp $41$ và $\frac{21}{5}$ .

$x = \frac{41 \cdot 21}{5}$

Bước 4.10

Nhân $41$ với $21$ .

$x = \frac{861}{5}$

Bước 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} \frac{221}{2} \\ - 84 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{221}{2} \\ 1 & - 84 \end{array} |$

Bước 5.2

Find the determinant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 84 - \frac{221}{2}$

Bước 5.2.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 84$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 (- 42)) - \frac{221}{2}$

Bước 5.2.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 42) - \frac{221}{2}$

Bước 5.2.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$- 42 - \frac{221}{2}$

Bước 5.2.2.2

Để viết $- 42$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- 42 \cdot \frac{2}{2} - \frac{221}{2}$

Bước 5.2.2.3

Kết hợp $- 42$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 42 \cdot 2}{2} - \frac{221}{2}$

Bước 5.2.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 42 \cdot 2 - 221}{2}$

Bước 5.2.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.5.1

Nhân $- 42$ với $2$ .

$\frac{- 84 - 221}{2}$

Bước 5.2.2.5.2

Trừ $221$ khỏi $- 84$ .

$\frac{- 305}{2}$

Bước 5.2.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{305}{2}$

$D_{y} = - \frac{305}{2}$

Bước 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Bước 5.4

Substitute $- \frac{25}{84}$ for $D$ and $- \frac{305}{2}$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- \frac{305}{2}}{- \frac{25}{84}}$

Bước 5.5

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$y = \frac{\frac{305}{2}}{\frac{25}{84}}$

Bước 5.6

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y = \frac{305}{2} \cdot \frac{84}{25}$

Bước 5.7

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1

Đưa $5$ ra ngoài $305$ .

$y = \frac{5 (61)}{2} \cdot \frac{84}{25}$

Bước 5.7.2

Đưa $5$ ra ngoài $25$ .

$y = \frac{5 \cdot 61}{2} \cdot \frac{84}{5 \cdot 5}$

Bước 5.7.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{5 \cdot 61}{2} \cdot \frac{84}{5 \cdot 5}$

Bước 5.7.4

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{61}{2} \cdot \frac{84}{5}$

Bước 5.8

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.1

Đưa $2$ ra ngoài $84$ .

$y = \frac{61}{2} \cdot \frac{2 (42)}{5}$

Bước 5.8.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{61}{2} \cdot \frac{2 \cdot 42}{5}$

Bước 5.8.3

Viết lại biểu thức.

$y = 61 (\frac{42}{5})$

Bước 5.9

Kết hợp $61$ và $\frac{42}{5}$ .

$y = \frac{61 \cdot 42}{5}$

Bước 5.10

Nhân $61$ với $42$ .

$y = \frac{2562}{5}$

Bước 6

Liệt kê đáp án cho hệ phương trình.

$x = \frac{861}{5}$

$y = \frac{2562}{5}$