Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{3} y = 1$ , $\frac{1}{4} x - \frac{1}{6} y = - \frac{3}{2}$

Bước 1

Biểu thị hệ phương trình ở dạng ma trận.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{4} & - \frac{1}{6} \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ - \frac{3}{2} \end{array}]$

Bước 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{4} & - \frac{1}{6} \end{array}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Write $[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{4} & - \frac{1}{6} \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{4} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Bước 2.2

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{6}) - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Bước 2.3

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Nhân $\frac{1}{2} (- \frac{1}{6})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 6} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Bước 2.3.1.1.2

Nhân $2$ với $6$ .

$- \frac{1}{12} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Bước 2.3.1.2

Nhân $- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.1

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{12} - \frac{1}{3 \cdot 4}$

Bước 2.3.1.2.2

Nhân $3$ với $4$ .

$- \frac{1}{12} - \frac{1}{12}$

Bước 2.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 1 - 1}{12}$

Bước 2.3.3

Trừ $1$ khỏi $- 1$ .

$\frac{- 2}{12}$

Bước 2.3.4

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{12}$

Bước 2.3.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $12$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 6}$

Bước 2.3.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 6}$

Bước 2.3.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1}{6}$

Bước 2.3.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{6}$

$D = - \frac{1}{6}$

Bước 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Bước 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 1 \\ - \frac{3}{2} \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} \\ - \frac{3}{2} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Bước 4.2

Find the determinant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (- \frac{1}{6}) - (- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Bước 4.2.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.1

Nhân $- \frac{1}{6}$ với $1$ .

$- \frac{1}{6} - (- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Bước 4.2.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{3}{2}$ vào tử số.

$- \frac{1}{6} - (\frac{- 3}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Bước 4.2.2.1.2.2

Đưa $3$ ra ngoài $- 3$ .

$- \frac{1}{6} - (\frac{3 (- 1)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Bước 4.2.2.1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{1}{6} - (\frac{3 \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Bước 4.2.2.1.2.4

Viết lại biểu thức.

$- \frac{1}{6} - \frac{- 1}{2}$

Bước 4.2.2.1.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{6} - - \frac{1}{2}$

Bước 4.2.2.1.4

Nhân $- - \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \frac{1}{6} + 1 (\frac{1}{2})$

Bước 4.2.2.1.4.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$- \frac{1}{6} + \frac{1}{2}$

Bước 4.2.2.2

Để viết $\frac{1}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Bước 4.2.2.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $6$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.3.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}$

Bước 4.2.2.3.2

Nhân $2$ với $3$ .

$- \frac{1}{6} + \frac{3}{6}$

Bước 4.2.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 1 + 3}{6}$

Bước 4.2.2.5

Cộng $- 1$ và $3$ .

$\frac{2}{6}$

Bước 4.2.2.6

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (1)}{6}$

Bước 4.2.2.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.6.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Bước 4.2.2.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Bước 4.2.2.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{3}$

$D_{x} = \frac{1}{3}$

Bước 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Bước 4.4

Substitute $- \frac{1}{6}$ for $D$ and $\frac{1}{3}$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{\frac{1}{3}}{- \frac{1}{6}}$

Bước 4.5

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x = \frac{1}{3} (- 1 \cdot 6)$

Bước 4.6

Nhân $- 1$ với $6$ .

$x = \frac{1}{3} \cdot - 6$

Bước 4.7

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 6$ .

$x = \frac{1}{3} \cdot (3 (- 2))$

Bước 4.7.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 2)$

Bước 4.7.3

Viết lại biểu thức.

$x = - 2$

Bước 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 1 \\ - \frac{3}{2} \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{1}{4} & - \frac{3}{2} \end{array} |$

Bước 5.2

Find the determinant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{3}{2}) - \frac{1}{4} \cdot 1$

Bước 5.2.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Nhân $\frac{1}{2} (- \frac{3}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2 \cdot 2} - \frac{1}{4} \cdot 1$

Bước 5.2.2.1.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$- \frac{3}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1$

Bước 5.2.2.1.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{3}{4} - \frac{1}{4}$

Bước 5.2.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 3 - 1}{4}$

Bước 5.2.2.3

Trừ $1$ khỏi $- 3$ .

$\frac{- 4}{4}$

Bước 5.2.2.4

Chia $- 4$ cho $4$ .

$- 1$

$D_{y} = - 1$

Bước 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Bước 5.4

Substitute $- \frac{1}{6}$ for $D$ and $- 1$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- 1}{- \frac{1}{6}}$

Bước 5.5

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$y = \frac{1}{\frac{1}{6}}$

Bước 5.6

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y = 1 \cdot 6$

Bước 5.7

Nhân $6$ với $1$ .

$y = 6$

Bước 6

Liệt kê đáp án cho hệ phương trình.

$x = - 2$

$y = 6$