Giải tích sơ cấp Ví dụ

$(- \frac{21}{8}, \frac{13}{24})$

Bước 1

Quy đổi từ tọa độ vuông góc $(x, y)$ sang tọa độ cực $(r, θ)$ bằng cách sử dụng các công thức chuyển đổi.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Bước 2

Thay thế $x$ và $y$ bằng các giá trị thực tế.

$r = \sqrt{{(- \frac{21}{8})}^{2} + {(\frac{13}{24})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Bước 3

Tìm độ lớn của tọa độ cực.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{21}{8}$ .

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{21}{8})}^{2} + {(\frac{13}{24})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Bước 3.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{21}{8}$ .

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{21^{2}}{8^{2}}) + {(\frac{13}{24})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{21^{2}}{8^{2}}) + {(\frac{13}{24})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Bước 3.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$r = \sqrt{1 (\frac{21^{2}}{8^{2}}) + {(\frac{13}{24})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Bước 3.3

Nhân $\frac{21^{2}}{8^{2}}$ với $1$ .

$r = \sqrt{\frac{21^{2}}{8^{2}} + {(\frac{13}{24})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Bước 3.4

Nâng $21$ lên lũy thừa $2$ .

$r = \sqrt{\frac{441}{8^{2}} + {(\frac{13}{24})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Bước 3.5

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$r = \sqrt{\frac{441}{64} + {(\frac{13}{24})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Bước 3.6

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{13}{24}$ .

$r = \sqrt{\frac{441}{64} + \frac{13^{2}}{24^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Bước 3.7

Nâng $13$ lên lũy thừa $2$ .

$r = \sqrt{\frac{441}{64} + \frac{169}{24^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Bước 3.8

Nâng $24$ lên lũy thừa $2$ .

$r = \sqrt{\frac{441}{64} + \frac{169}{576}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Bước 3.9

Để viết $\frac{441}{64}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{9}{9}$ .

$r = \sqrt{\frac{441}{64} \cdot \frac{9}{9} + \frac{169}{576}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Bước 3.10

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $576$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1

Nhân $\frac{441}{64}$ với $\frac{9}{9}$ .

$r = \sqrt{\frac{441 \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{169}{576}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Bước 3.10.2

Nhân $64$ với $9$ .

$r = \sqrt{\frac{441 \cdot 9}{576} + \frac{169}{576}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{441 \cdot 9}{576} + \frac{169}{576}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Bước 3.11

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$r = \sqrt{\frac{441 \cdot 9 + 169}{576}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Bước 3.12

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.1

Nhân $441$ với $9$ .

$r = \sqrt{\frac{3969 + 169}{576}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Bước 3.12.2

Cộng $3969$ và $169$ .

$r = \sqrt{\frac{4138}{576}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{4138}{576}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Bước 3.13

Triệt tiêu thừa số chung của $4138$ và $576$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.13.1

Đưa $2$ ra ngoài $4138$ .

$r = \sqrt{\frac{2 (2069)}{576}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Bước 3.13.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.13.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $576$ .

$r = \sqrt{\frac{2 \cdot 2069}{2 \cdot 288}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Bước 3.13.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \sqrt{\frac{2 \cdot 2069}{2 \cdot 288}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Bước 3.13.2.3

Viết lại biểu thức.

$r = \sqrt{\frac{2069}{288}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{2069}{288}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{2069}{288}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Bước 3.14

Viết lại $\sqrt{\frac{2069}{288}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{2069}}{\sqrt{288}}$ .

$r = \frac{\sqrt{2069}}{\sqrt{288}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Bước 3.15

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.15.1

Viết lại $288$ ở dạng $12^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.15.1.1

Đưa $144$ ra ngoài $288$ .

$r = \frac{\sqrt{2069}}{\sqrt{144 (2)}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Bước 3.15.1.2

Viết lại $144$ ở dạng $12^{2}$ .

$r = \frac{\sqrt{2069}}{\sqrt{12^{2} \cdot 2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{2069}}{\sqrt{12^{2} \cdot 2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Bước 3.15.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$r = \frac{\sqrt{2069}}{12 \sqrt{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{2069}}{12 \sqrt{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Bước 3.16

Nhân $\frac{\sqrt{2069}}{12 \sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$r = \frac{\sqrt{2069}}{12 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Bước 3.17

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.17.1

Nhân $\frac{\sqrt{2069}}{12 \sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$r = \frac{\sqrt{2069} \sqrt{2}}{12 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Bước 3.17.2

Di chuyển $\sqrt{2}$ .

$r = \frac{\sqrt{2069} \sqrt{2}}{12 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Bước 3.17.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$r = \frac{\sqrt{2069} \sqrt{2}}{12 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Bước 3.17.4

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$r = \frac{\sqrt{2069} \sqrt{2}}{12 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Bước 3.17.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$r = \frac{\sqrt{2069} \sqrt{2}}{12 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Bước 3.17.6

Cộng $1$ và $1$ .

$r = \frac{\sqrt{2069} \sqrt{2}}{12 {\sqrt{2}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Bước 3.17.7

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.17.7.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \frac{\sqrt{2069} \sqrt{2}}{12 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Bước 3.17.7.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \frac{\sqrt{2069} \sqrt{2}}{12 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Bước 3.17.7.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$r = \frac{\sqrt{2069} \sqrt{2}}{12 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Bước 3.17.7.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.17.7.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{\sqrt{2069} \sqrt{2}}{12 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Bước 3.17.7.4.2

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{\sqrt{2069} \sqrt{2}}{12 \cdot 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{2069} \sqrt{2}}{12 \cdot 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Bước 3.17.7.5

Tính số mũ.

$r = \frac{\sqrt{2069} \sqrt{2}}{12 \cdot 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{2069} \sqrt{2}}{12 \cdot 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{2069} \sqrt{2}}{12 \cdot 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Bước 3.18

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.18.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$r = \frac{\sqrt{2069 \cdot 2}}{12 \cdot 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Bước 3.18.2

Nhân $2069$ với $2$ .

$r = \frac{\sqrt{4138}}{12 \cdot 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{4138}}{12 \cdot 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Bước 3.19

Nhân $12$ với $2$ .

$r = \frac{\sqrt{4138}}{24}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{4138}}{24}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Bước 4

Thay thế $x$ và $y$ bằng các giá trị thực tế.

$r = \frac{\sqrt{4138}}{24}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{\frac{13}{24}}{- \frac{21}{8}})$

Bước 5

Tang nghịch đảo của $- \frac{13}{63}$ là $θ = 168.34070734 °$ .

$r = \frac{\sqrt{4138}}{24}$

$θ = 168.34070734 °$

Bước 6

Đây là kết quả của việc quy đổi sang tọa độ cực ở dạng $(r, θ)$ .

$(\frac{\sqrt{4138}}{24}, 168.34070734 °)$