Giải tích sơ cấp Ví dụ

$9 x^{2} + 72 x - 4 y^{2} - 32 y + 44 = 0$

Bước 1

Tìm dạng chính tắc của hyperbol.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Trừ $44$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$9 x^{2} + 72 x - 4 y^{2} - 32 y = - 44$

Bước 1.2

Hoàn thành bình phương cho $9 x^{2} + 72 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 9$

$b = 72$

$c = 0$

Bước 1.2.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.2.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{72}{2 \cdot 9}$

Bước 1.2.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $72$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $72$ .

$d = \frac{2 \cdot 36}{2 \cdot 9}$

Bước 1.2.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot 36}{2 (9)}$

Bước 1.2.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot 36}{2 \cdot 9}$

Bước 1.2.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{36}{9}$

Bước 1.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $36$ và $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.2.1

Đưa $9$ ra ngoài $36$ .

$d = \frac{9 \cdot 4}{9}$

Bước 1.2.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.2.2.1

Đưa $9$ ra ngoài $9$ .

$d = \frac{9 \cdot 4}{9 (1)}$

Bước 1.2.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{9 \cdot 4}{9 \cdot 1}$

Bước 1.2.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{4}{1}$

Bước 1.2.3.2.2.2.4

Chia $4$ cho $1$ .

$d = 4$

Bước 1.2.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{72^{2}}{4 \cdot 9}$

Bước 1.2.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1.1

Nâng $72$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{5184}{4 \cdot 9}$

Bước 1.2.4.2.1.2

Nhân $4$ với $9$ .

$e = 0 - \frac{5184}{36}$

Bước 1.2.4.2.1.3

Chia $5184$ cho $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 144$

Bước 1.2.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $144$ .

$e = 0 - 144$

Bước 1.2.4.2.2

Trừ $144$ khỏi $0$ .

$e = - 144$

Bước 1.2.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $9 {(x + 4)}^{2} - 144$ .

$9 {(x + 4)}^{2} - 144$

Bước 1.3

Thay $9 {(x + 4)}^{2} - 144$ cho $9 x^{2} + 72 x$ trong phương trình $9 x^{2} + 72 x - 4 y^{2} - 32 y = - 44$ .

$9 {(x + 4)}^{2} - 144 - 4 y^{2} - 32 y = - 44$

Bước 1.4

Di chuyển $- 144$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $144$ vào cả hai vế.

$9 {(x + 4)}^{2} - 4 y^{2} - 32 y = - 44 + 144$

Bước 1.5

Hoàn thành bình phương cho $- 4 y^{2} - 32 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = - 4$

$b = - 32$

$c = 0$

Bước 1.5.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.5.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 32}{2 \cdot - 4}$

Bước 1.5.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 32$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 32$ .

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot - 4}$

Bước 1.5.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 (- 4)}$

Bước 1.5.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot - 4}$

Bước 1.5.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 16}{- 4}$

Bước 1.5.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 16$ và $- 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.2.1

Đưa $- 4$ ra ngoài $- 16$ .

$d = \frac{- 4 (4)}{- 4}$

Bước 1.5.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.2.2.1

Đưa $- 4$ ra ngoài $- 4$ .

$d = \frac{- 4 \cdot 4}{- 4 \cdot 1}$

Bước 1.5.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{- 4 \cdot 4}{- 4 \cdot 1}$

Bước 1.5.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{4}{1}$

Bước 1.5.3.2.2.2.4

Chia $4$ cho $1$ .

$d = 4$

Bước 1.5.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 32)}^{2}}{4 \cdot - 4}$

Bước 1.5.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1.1

Nâng $- 32$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{1024}{4 \cdot - 4}$

Bước 1.5.4.2.1.2

Nhân $4$ với $- 4$ .

$e = 0 - \frac{1024}{- 16}$

Bước 1.5.4.2.1.3

Chia $1024$ cho $- 16$ .

$e = 0 - - 64$

Bước 1.5.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $- 64$ .

$e = 0 + 64$

Bước 1.5.4.2.2

Cộng $0$ và $64$ .

$e = 64$

Bước 1.5.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $- 4 {(y + 4)}^{2} + 64$ .

$- 4 {(y + 4)}^{2} + 64$

Bước 1.6

Thay $- 4 {(y + 4)}^{2} + 64$ cho $- 4 y^{2} - 32 y$ trong phương trình $9 x^{2} + 72 x - 4 y^{2} - 32 y = - 44$ .

$9 {(x + 4)}^{2} - 4 {(y + 4)}^{2} + 64 = - 44 + 144$

Bước 1.7

Di chuyển $64$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $64$ vào cả hai vế.

$9 {(x + 4)}^{2} - 4 {(y + 4)}^{2} = - 44 + 144 - 64$

Bước 1.8

Rút gọn $- 44 + 144 - 64$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Cộng $- 44$ và $144$ .

$9 {(x + 4)}^{2} - 4 {(y + 4)}^{2} = 100 - 64$

Bước 1.8.2

Trừ $64$ khỏi $100$ .

$9 {(x + 4)}^{2} - 4 {(y + 4)}^{2} = 36$

Bước 1.9

Chia mỗi số hạng cho $36$ để làm cho vế phải bằng một.

$\frac{9 {(x + 4)}^{2}}{36} - \frac{4 {(y + 4)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Bước 1.10

Rút gọn từng số hạng trong phương trình để đặt vế phải bằng $1$ . Dạng chính tắc của hình elip hoặc hyperbol yêu cầu phía vế phải của phương trình bằng $1$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{4} - \frac{{(y + 4)}^{2}}{9} = 1$

Bước 2

Đây là dạng của một hyperbol. Sử dụng dạng này để xác định các giá trị được sử dụng để tìm các đỉnh và các tiệm cận của hyperbol.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Bước 3

Tương ứng các giá trị trong hyperbol này với dạng chính tắc. Biến $h$ là khoảng cách theo trục x tính từ gốc tọa độ, $k$ là khoảng cách theo trục y tính từ gốc tọa độ, $a$ .

$a = 2$

$b = 3$

$k = - 4$

$h = - 4$

Bước 4

Tâm của một hyperbol có dạng $(h, k)$ . Thay vào các giá trị của $h$ và $k$ .

$(- 4, - 4)$

Bước 5

Tìm $c$ , khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm của đường hyperbol bằng công thức sau.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Bước 5.2

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(3)}^{2}}$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{4 + {(3)}^{2}}$

Bước 5.3.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{4 + 9}$

Bước 5.3.3

Cộng $4$ và $9$ .

$\sqrt{13}$

Bước 6

Tìm các đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Có thể tìm đỉnh đầu tiên của một hyperbol bằng cách cộng $a$ vào $h$ .

$(h + a, k)$

Bước 6.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(- 2, - 4)$

Bước 6.3

Có thể tìm đỉnh thứ hai của một hyperbol bằng cách trừ $a$ từ $h$ .

$(h - a, k)$

Bước 6.4

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(- 6, - 4)$

Bước 6.5

Các đỉnh của một hyperbol có dạng $(h \pm a, k)$ . Hyperbol có hai đỉnh.

$(- 2, - 4), (- 6, - 4)$

Bước 7

Tìm tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Có thể tìm tiêu điểm đầu tiên của một hyperbol bằng cách cộng $c$ vào $h$ .

$(h + c, k)$

Bước 7.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(- 4 + \sqrt{13}, - 4)$

Bước 7.3

Có thể tìm tiêu điểm thứ hai của một hyperbol bằng cách trừ $c$ từ $h$ .

$(h - c, k)$

Bước 7.4

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(- 4 - \sqrt{13}, - 4)$

Bước 7.5

Tiêu điểm của một hyperbol có dạng $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Hyperbol có hai tiêu điểm.

$(- 4 + \sqrt{13}, - 4), (- 4 - \sqrt{13}, - 4)$

Bước 8

Tìm tâm sai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tìm tâm sai bằng công thức sau.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Bước 8.2

Thay giá trị của $a$ và $b$ vào công thức.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(3)}^{2}}}{2}$

Bước 8.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 3^{2}}}{2}$

Bước 8.3.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 9}}{2}$

Bước 8.3.3

Cộng $4$ và $9$ .

$\frac{\sqrt{13}}{2}$

Bước 9

Tìm tham số tiêu.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tìm giá trị của thông số tiêu cự hyperbol bằng cách sử dụng công thức sau.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Bước 9.2

Thay các giá trị của $b$ và $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ vào công thức.

$\frac{3^{2}}{\sqrt{13}}$

Bước 9.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{9}{\sqrt{13}}$

Bước 9.3.2

Nhân $\frac{9}{\sqrt{13}}$ với $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{9}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$

Bước 9.3.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.1

Nhân $\frac{9}{\sqrt{13}}$ với $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Bước 9.3.3.2

Nâng $\sqrt{13}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13}}$

Bước 9.3.3.3

Nâng $\sqrt{13}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1}}$

Bước 9.3.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

Bước 9.3.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{2}}$

Bước 9.3.3.6

Viết lại ${\sqrt{13}}^{2}$ ở dạng $13$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{13}$ ở dạng $13^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 9.3.3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 9.3.3.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Bước 9.3.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Bước 9.3.3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{9 \sqrt{13}}{13^{1}}$

Bước 9.3.3.6.5

Tính số mũ.

$\frac{9 \sqrt{13}}{13}$

Bước 10

Các tiệm cận có dạng $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ vì hyperbol này quay mặt lõm sang trái và sang phải.

$y = \pm \frac{3}{2} \cdot (x - (- 4)) - 4$

Bước 11

Rút gọn để tìm tiệm cận thứ nhất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = \frac{3}{2} \cdot (x - (- 4)) - 4$

Bước 11.2

Rút gọn $\frac{3}{2} \cdot (x - (- 4)) - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.1

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$y = \frac{3}{2} \cdot (x + 4) - 4$

Bước 11.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} \cdot 4 - 4$

Bước 11.2.1.3

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $x$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot 4 - 4$

Bước 11.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot (2 (2)) - 4$

Bước 11.2.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot (2 \cdot 2) - 4$

Bước 11.2.1.4.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{3 x}{2} + 3 \cdot 2 - 4$

Bước 11.2.1.5

Nhân $3$ với $2$ .

$y = \frac{3 x}{2} + 6 - 4$

Bước 11.2.2

Trừ $4$ khỏi $6$ .

$y = \frac{3 x}{2} + 2$

Bước 12

Rút gọn để tìm tiệm cận thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - (- 4)) - 4$

Bước 12.2

Rút gọn $- \frac{3}{2} \cdot (x - (- 4)) - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1.1

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x + 4) - 4$

Bước 12.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot 4 - 4$

Bước 12.2.1.3

Kết hợp $x$ và $\frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot 4 - 4$

Bước 12.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{3}{2}$ vào tử số.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot 4 - 4$

Bước 12.2.1.4.2

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (2)) - 4$

Bước 12.2.1.4.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot 2) - 4$

Bước 12.2.1.4.4

Viết lại biểu thức.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - 3 \cdot 2 - 4$

Bước 12.2.1.5

Nhân $- 3$ với $2$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - 6 - 4$

Bước 12.2.1.6

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x$ .

$y = - \frac{3 x}{2} - 6 - 4$

Bước 12.2.2

Trừ $4$ khỏi $- 6$ .

$y = - \frac{3 x}{2} - 10$

Bước 13

Hyperbol này có hai tiệm cận.

$y = \frac{3 x}{2} + 2, y = - \frac{3 x}{2} - 10$

Bước 14

Những giá trị này đại diện cho các giá trị quan trọng cho việc vẽ đồ thị và phân tích một hyperbol.

Tâm: $(- 4, - 4)$

Các đỉnh: $(- 2, - 4), (- 6, - 4)$

Tiêu điểm: $(- 4 + \sqrt{13}, - 4), (- 4 - \sqrt{13}, - 4)$

Tâm sai: $\frac{\sqrt{13}}{2}$

Tham số tiêu: $\frac{9 \sqrt{13}}{13}$

Các đường tiệm cận: $y = \frac{3 x}{2} + 2$ , $y = - \frac{3 x}{2} - 10$

Bước 15