Giải tích sơ cấp Ví dụ

${(3 - 2 i)}^{3}$

Bước 1

Sử dụng định lý khai triển nhị thức để tìm từng số hạng. Định lý nhị thức nói rằng ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(3)}^{3 - k} \cdot {(- 2 i)}^{k}$

Bước 2

Khai triển tổng.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} \cdot {(3)}^{3 - 0} \cdot {(- 2 i)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} \cdot {(3)}^{3 - 1} \cdot {(- 2 i)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} \cdot {(3)}^{3 - 2} \cdot {(- 2 i)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} \cdot {(3)}^{3 - 3} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Bước 3

Rút gọn số mũ của mỗi số hạng của tổng đã được khai triển.

$1 \cdot {(3)}^{3} \cdot {(- 2 i)}^{0} + 3 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Bước 4

Rút gọn kết quả đa thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Nhân ${(3)}^{3}$ với $1$ .

${(3)}^{3} \cdot {(- 2 i)}^{0} + 3 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Bước 4.1.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$27 \cdot {(- 2 i)}^{0} + 3 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Bước 4.1.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $- 2 i$ .

$27 \cdot ({(- 2)}^{0} i^{0}) + 3 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Bước 4.1.4

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$27 \cdot (1 i^{0}) + 3 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Bước 4.1.5

Nhân $i^{0}$ với $1$ .

$27 \cdot i^{0} + 3 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Bước 4.1.6

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$27 \cdot 1 + 3 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Bước 4.1.7

Nhân $27$ với $1$ .

$27 + 3 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Bước 4.1.8

Nhân $3$ với ${(3)}^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.8.1

Nhân $3$ với ${(3)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.8.1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $1$ .

$27 + 3^{1} \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Bước 4.1.8.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$27 + 3^{1 + 2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Bước 4.1.8.2

Cộng $1$ và $2$ .

$27 + 3^{3} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Bước 4.1.9

Rút gọn $3^{3} \cdot {(- 2 i)}^{1}$ .

$27 + 3^{3} \cdot (- 2 i) + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Bước 4.1.10

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$27 + 27 \cdot (- 2 i) + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Bước 4.1.11

Nhân $- 2$ với $27$ .

$27 - 54 i + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Bước 4.1.12

Tính số mũ.

$27 - 54 i + 3 \cdot 3 \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Bước 4.1.13

Nhân $3$ với $3$ .

$27 - 54 i + 9 \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Bước 4.1.14

Áp dụng quy tắc tích số cho $- 2 i$ .

$27 - 54 i + 9 \cdot ({(- 2)}^{2} i^{2}) + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Bước 4.1.15

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$27 - 54 i + 9 \cdot (4 i^{2}) + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Bước 4.1.16

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$27 - 54 i + 9 \cdot (4 \cdot - 1) + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Bước 4.1.17

Nhân $9 (4 \cdot - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.17.1

Nhân $4$ với $- 1$ .

$27 - 54 i + 9 \cdot - 4 + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Bước 4.1.17.2

Nhân $9$ với $- 4$ .

$27 - 54 i - 36 + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Bước 4.1.18

Nhân ${(3)}^{0}$ với $1$ .

$27 - 54 i - 36 + {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Bước 4.1.19

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$27 - 54 i - 36 + 1 \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Bước 4.1.20

Nhân ${(- 2 i)}^{3}$ với $1$ .

$27 - 54 i - 36 + {(- 2 i)}^{3}$

Bước 4.1.21

Áp dụng quy tắc tích số cho $- 2 i$ .

$27 - 54 i - 36 + {(- 2)}^{3} i^{3}$

Bước 4.1.22

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $3$ .

$27 - 54 i - 36 - 8 i^{3}$

Bước 4.1.23

Đưa $i^{2}$ ra ngoài.

$27 - 54 i - 36 - 8 (i^{2} \cdot i)$

Bước 4.1.24

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$27 - 54 i - 36 - 8 (- 1 \cdot i)$

Bước 4.1.25

Viết lại $- 1 i$ ở dạng $- i$ .

$27 - 54 i - 36 - 8 (- i)$

Bước 4.1.26

Nhân $- 1$ với $- 8$ .

$27 - 54 i - 36 + 8 i$

Bước 4.2

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Trừ $36$ khỏi $27$ .

$- 9 - 54 i + 8 i$

Bước 4.2.2

Cộng $- 54 i$ và $8 i$ .

$- 9 - 46 i$