Giải tích sơ cấp Ví dụ

$- 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot i$

Bước 1

Kết hợp $i$ và $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- 1 - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Bước 2

Đây là dạng lượng giác của một số phức trong đó $| z |$ là mô-đun và $θ$ là góc được tạo trên mặt phẳng phức.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Bước 3

Mô-đun của một số phức là khoảng cách từ gốc tọa độ trên mặt phẳng phức.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ trong đó $z = a + b i$

Bước 4

Thay các giá trị thực tế của $a = - 1$ và $b = - \frac{1 \sqrt{3}}{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- \frac{1 \sqrt{3}}{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Bước 5

Tìm $| z |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $\sqrt{3}$ với $1$ .

$| z | = \sqrt{{(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Bước 5.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Bước 5.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + {(- 1)}^{2}}$

Bước 5.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + {(- 1)}^{2}}$

Bước 5.3.2

Nhân $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$ với $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Bước 5.4

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Bước 5.4.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Bước 5.4.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Bước 5.4.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$| z | = \sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Bước 5.4.4.2

Viết lại biểu thức.

$| z | = \sqrt{\frac{3}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Bước 5.4.5

Tính số mũ.

$| z | = \sqrt{\frac{3}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Bước 5.5

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{3}{9} + {(- 1)}^{2}}$

Bước 5.6

Triệt tiêu thừa số chung của $3$ và $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$| z | = \sqrt{\frac{3 (1)}{9} + {(- 1)}^{2}}$

Bước 5.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$| z | = \sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + {(- 1)}^{2}}$

Bước 5.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$| z | = \sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + {(- 1)}^{2}}$

Bước 5.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{3} + {(- 1)}^{2}}$

Bước 5.7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{3} + 1}$

Bước 5.7.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}}$

Bước 5.7.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$| z | = \sqrt{\frac{1 + 3}{3}}$

Bước 5.7.4

Cộng $1$ và $3$ .

$| z | = \sqrt{\frac{4}{3}}$

Bước 5.8

Viết lại $\sqrt{\frac{4}{3}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Bước 5.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Bước 5.9.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$| z | = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Bước 5.10

Nhân $\frac{2}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$| z | = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Bước 5.11

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.11.1

Nhân $\frac{2}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 5.11.2

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 5.11.3

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 5.11.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Bước 5.11.5

Cộng $1$ và $1$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Bước 5.11.6

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.11.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 5.11.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 5.11.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 5.11.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.11.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 5.11.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Bước 5.11.6.5

Tính số mũ.

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Bước 6

Góc của điểm trên mặt phẳng phức là nghịch đảo tang của phần phức trên phần thực.

$θ = \arctan (\frac{- \frac{1 \sqrt{3}}{3}}{- 1})$

Bước 7

Vì tang nghịch đảo của $\frac{- \frac{1 \sqrt{3}}{3}}{- 1}$ tạo ra một góc trong góc phần tư thứ ba, giá trị của góc là $\frac{7 π}{6}$ .

$θ = \frac{7 π}{6}$

Bước 8

Thay các giá trị của $θ = \frac{7 π}{6}$ và $| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3 (\cos (\frac{7 π}{6}) + i \sin (\frac{7 π}{6}))}$