Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{2}{3} + 6 i + \frac{5}{2} \cdot i$

Bước 1

Kết hợp $\frac{5}{2}$ và $i$ .

$\frac{2}{3} + 6 i + \frac{5 i}{2}$

Bước 2

Để viết $6 i$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} + 6 i \cdot \frac{2}{2} + \frac{5 i}{2}$

Bước 3

Kết hợp $6 i$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{6 i \cdot 2}{2} + \frac{5 i}{2}$

Bước 4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2}{3} + \frac{17 i}{2}$

Bước 5

Đây là dạng lượng giác của một số phức trong đó $| z |$ là mô-đun và $θ$ là góc được tạo trên mặt phẳng phức.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Bước 6

Mô-đun của một số phức là khoảng cách từ gốc tọa độ trên mặt phẳng phức.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ trong đó $z = a + b i$

Bước 7

Thay các giá trị thực tế của $a = \frac{2}{3}$ và $b = \frac{17}{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(\frac{17}{2})}^{2} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Bước 8

Tìm $| z |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{17}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{17^{2}}{2^{2}} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Bước 8.2

Nâng $17$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{2^{2}} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Bước 8.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Bước 8.4

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{2}{3}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} + \frac{2^{2}}{3^{2}}}$

Bước 8.5

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} + \frac{4}{3^{2}}}$

Bước 8.6

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} + \frac{4}{9}}$

Bước 8.7

Để viết $\frac{289}{4}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{9}{9}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{4}{9}}$

Bước 8.8

Để viết $\frac{4}{9}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Bước 8.9

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $36$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.9.1

Nhân $\frac{289}{4}$ với $\frac{9}{9}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289 \cdot 9}{4 \cdot 9} + \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Bước 8.9.2

Nhân $4$ với $9$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289 \cdot 9}{36} + \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Bước 8.9.3

Nhân $\frac{4}{9}$ với $\frac{4}{4}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289 \cdot 9}{36} + \frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 4}}$

Bước 8.9.4

Nhân $9$ với $4$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289 \cdot 9}{36} + \frac{4 \cdot 4}{36}}$

Bước 8.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$| z | = \sqrt{\frac{289 \cdot 9 + 4 \cdot 4}{36}}$

Bước 8.11

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.11.1

Nhân $289$ với $9$ .

$| z | = \sqrt{\frac{2601 + 4 \cdot 4}{36}}$

Bước 8.11.2

Nhân $4$ với $4$ .

$| z | = \sqrt{\frac{2601 + 16}{36}}$

Bước 8.11.3

Cộng $2601$ và $16$ .

$| z | = \sqrt{\frac{2617}{36}}$

Bước 8.12

Viết lại $\sqrt{\frac{2617}{36}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{2617}}{\sqrt{36}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2617}}{\sqrt{36}}$

Bước 8.13

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.13.1

Viết lại $36$ ở dạng $6^{2}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2617}}{\sqrt{6^{2}}}$

Bước 8.13.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$| z | = \frac{\sqrt{2617}}{6}$

Bước 9

Góc của điểm trên mặt phẳng phức là nghịch đảo tang của phần phức trên phần thực.

$θ = \arctan (\frac{\frac{17}{2}}{\frac{2}{3}})$

Bước 10

Vì tang nghịch đảo của $\frac{\frac{17}{2}}{\frac{2}{3}}$ tạo ra một góc trong góc phần tư thứ nhất, giá trị của góc là $1.49252518$ .

$θ = 1.49252518$

Bước 11

Thay các giá trị của $θ = 1.49252518$ và $| z | = \frac{\sqrt{2617}}{6}$ .

$\frac{\sqrt{2617}}{6 (\cos (1.49252518) + i \sin (1.49252518))}$