Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot i$

Bước 1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $i$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$

Bước 2

Đây là dạng lượng giác của một số phức trong đó $| z |$ là mô-đun và $θ$ là góc được tạo trên mặt phẳng phức.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Bước 3

Mô-đun của một số phức là khoảng cách từ gốc tọa độ trên mặt phẳng phức.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ trong đó $z = a + b i$

Bước 4

Thay các giá trị thực tế của $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$ và $b = \frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Bước 5

Tìm $| z |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Bước 5.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Bước 5.1.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Bước 5.1.4

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

Bước 5.2

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Bước 5.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Bước 5.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Bước 5.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Bước 5.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{2^{2}}}$

Bước 5.2.5

Tính số mũ.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{2^{2}}}$

Bước 5.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}$

Bước 5.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$| z | = \sqrt{\frac{1 + 3}{4}}$

Bước 5.3.3

Cộng $1$ và $3$ .

$| z | = \sqrt{\frac{4}{4}}$

Bước 5.3.4

Chia $4$ cho $4$ .

$| z | = \sqrt{1}$

Bước 5.3.5

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$| z | = 1$

Bước 6

Góc của điểm trên mặt phẳng phức là nghịch đảo tang của phần phức trên phần thực.

$θ = \arctan (\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}})$

Bước 7

Vì tang nghịch đảo của $\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ tạo ra một góc trong góc phần tư thứ nhất, giá trị của góc là $\frac{π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Bước 8

Thay các giá trị của $θ = \frac{π}{6}$ và $| z | = 1$ .

$\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6})$