Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 9}$ , $g (x) = \sqrt{x - 2}$

Bước 1

Tìm thương của các hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Thay thế các ký hiệu hàm số bằng các hàm số thực sự trong $\frac{f (x)}{g (x)}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{2} - 9}}{\sqrt{x - 2}}$

Bước 1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{1}{x^{2} - 9} \cdot \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$

Bước 1.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} - 3^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$

Bước 1.2.2.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 3$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$

Bước 1.2.3

Nhân $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ với $\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} (\frac{1}{\sqrt{x - 2}} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}})$

Bước 1.2.4

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ với $\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2}}$

Bước 1.2.4.2

Nâng $\sqrt{x - 2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1} \sqrt{x - 2}}$

Bước 1.2.4.3

Nâng $\sqrt{x - 2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1} {\sqrt{x - 2}}^{1}}$

Bước 1.2.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1 + 1}}$

Bước 1.2.4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{2}}$

Bước 1.2.4.6

Viết lại ${\sqrt{x - 2}}^{2}$ ở dạng $x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x - 2}$ ở dạng ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 1.2.4.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 1.2.4.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Bước 1.2.4.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Bước 1.2.4.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{1}}$

Bước 1.2.4.6.5

Rút gọn.

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$

Bước 1.2.5

Nhân $\frac{1}{(x + 3) (x - 3)}$ với $\frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$ .

$\frac{\sqrt{x - 2}}{(x + 3) (x - 3) (x - 2)}$

Bước 2

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{x - 2}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$x - 2 \geq 0$

Bước 3

Cộng $2$ cho cả hai vế của bất đẳng thức.

$x \geq 2$

Bước 4

Đặt mẫu số trong $\frac{\sqrt{x - 2}}{(x + 3) (x - 3) (x - 2)}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$(x + 3) (x - 3) (x - 2) = 0$

Bước 5

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Bước 5.2

Đặt $x + 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đặt $x + 3$ bằng với $0$ .

$x + 3 = 0$

Bước 5.2.2

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 3$

Bước 5.3

Đặt $x - 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Đặt $x - 3$ bằng với $0$ .

$x - 3 = 0$

Bước 5.3.2

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 3$

Bước 5.4

Đặt $x - 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Đặt $x - 2$ bằng với $0$ .

$x - 2 = 0$

Bước 5.4.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 5.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(x + 3) (x - 3) (x - 2) = 0$ đúng.

$x = - 3, 3, 2$

Bước 6

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(2, 3) \cup (3, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x > 2, x \neq 3}$

Bước 7