Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\sin (w) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\sin (\frac{w}{2})$

Bước 1

Sử dụng định nghĩa của sin để tìm các cạnh đã biết của tam giác vuông nội tiếp đường tròn đơn vị. Góc phần tư xác định dấu của mỗi giá trị.

$\sin (w) = \frac{đối diện}{cạnh huyền}$

Bước 2

Tìm cạnh kề của tam giác nội tiếp đường tròn đơn vị. Vì cạnh huyền và cạnh đối đã biết, ta sử dụng định lý Pytago để tìm cạnh còn lại.

$Góc kề = \sqrt{{cạnh huyền}^{2} - {đối diện}^{2}}$

Bước 3

Thay thế các giá trị đã biết trong phương trình.

$Góc kề = \sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Bước 4

Rút gọn phần bên trong căn thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

Cạnh kề $= \sqrt{4 - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Bước 4.2

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

Cạnh kề $= \sqrt{4 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 4.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Cạnh kề $= \sqrt{4 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 4.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

Cạnh kề $= \sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 4.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

Cạnh kề $= \sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 4.2.4.2

Viết lại biểu thức.

Cạnh kề $= \sqrt{4 - 3}$

Bước 4.2.5

Tính số mũ.

Cạnh kề $= \sqrt{4 - 1 \cdot 3}$

Bước 4.3

Nhân $- 1$ với $3$ .

Cạnh kề $= \sqrt{4 - 3}$

Bước 4.4

Trừ $3$ khỏi $4$ .

Cạnh kề $= \sqrt{1}$

Bước 4.5

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

Cạnh kề $= 1$

Bước 5

Sử dụng định nghĩa của sin để tìm giá trị của $\sin (w)$ .

$\sin (w) = \frac{đối diện}{cạnh huyền}$

Bước 6

Thay vào các giá trị đã biết.

$\sin (w) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 7

Khai triển $\sin (\frac{w}{2})$ thành $\pm \frac{\sqrt{2 (1 - \cos (w))}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Áp dụng công thức góc chia đôi cho sin.

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (w)}{2}}$

Bước 7.2

Viết lại $\sqrt{\frac{1 - \cos (w)}{2}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{1 - \cos (w)}}{\sqrt{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)}}{\sqrt{2}}$

Bước 7.3

Nhân $\frac{\sqrt{1 - \cos (w)}}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Bước 7.4

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Nhân $\frac{\sqrt{1 - \cos (w)}}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 7.4.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Bước 7.4.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Bước 7.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Bước 7.4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Bước 7.4.6

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 7.4.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 7.4.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 7.4.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 7.4.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Bước 7.4.6.5

Tính số mũ.

$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (w)} \sqrt{2}}{2}$

Bước 7.5

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (w)) \cdot 2}}{2}$

Bước 7.6

Sắp xếp lại các thừa số trong $\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (w)) \cdot 2}}{2}$ .

$\pm \frac{\sqrt{2 (1 - \cos (w))}}{2}$

Bước 8

Sử dụng định nghĩa của $c o s$ để tìm giá trị của $\cos (w)$ . Trong trường hợp này, $\cos (w) = \frac{1}{2}$ .

$\cos (w) = \frac{1}{2}$

Bước 9

Thay các giá trị vào $\pm \frac{\sqrt{2 (1 - \cos (w))}}{2}$ .

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2 (1 - \frac{1}{2})}}{2}$

Bước 10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2 (\frac{2}{2} - \frac{1}{2})}}{2}$

Bước 10.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2 (\frac{2 - 1}{2})}}{2}$

Bước 10.3

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

Bước 10.4

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{\frac{2}{2}}}{2}$

Bước 10.5

Chia $2$ cho $2$ .

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{\sqrt{1}}{2}$

Bước 10.6

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$\sin (\frac{w}{2}) = \pm \frac{1}{2}$