Giải tích sơ cấp Ví dụ

$5 x^{2} + 10 x + 5 y^{2} + 19 y = 9$

Bước 1

Trừ $9$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$5 x^{2} + 10 x + 5 y^{2} + 19 y - 9 = 0$

Bước 2

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 3

Thay các giá trị $a = 5$ , $b = 19$ , và $c = 5 x^{2} + 10 x - 9$ vào công thức bậc hai và giải tìm $y$ .

$\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (5 \cdot (5 x^{2} + 10 x - 9))}}{2 \cdot 5}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Nâng $19$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 5 \cdot (5 x^{2} + 10 x - 9)}}{2 \cdot 5}$

Bước 4.1.2

Nhân $- 4$ với $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot (5 x^{2} + 10 x - 9)}}{2 \cdot 5}$

Bước 4.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x) - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Bước 4.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1

Nhân $5$ với $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 20 (10 x) - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Bước 4.1.4.2

Nhân $10$ với $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 200 x - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Bước 4.1.4.3

Nhân $- 20$ với $- 9$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 200 x + 180}}{2 \cdot 5}$

Bước 4.1.5

Cộng $361$ và $180$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{2 \cdot 5}$

Bước 4.2

Nhân $2$ với $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Bước 5

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Nâng $19$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 5 \cdot (5 x^{2} + 10 x - 9)}}{2 \cdot 5}$

Bước 5.1.2

Nhân $- 4$ với $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot (5 x^{2} + 10 x - 9)}}{2 \cdot 5}$

Bước 5.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x) - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Bước 5.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.1

Nhân $5$ với $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 20 (10 x) - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Bước 5.1.4.2

Nhân $10$ với $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 200 x - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Bước 5.1.4.3

Nhân $- 20$ với $- 9$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 200 x + 180}}{2 \cdot 5}$

Bước 5.1.5

Cộng $361$ và $180$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{2 \cdot 5}$

Bước 5.2

Nhân $2$ với $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Bước 5.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$y = \frac{- 19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Bước 5.4

Viết lại $- 19$ ở dạng $- 1 (19)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Bước 5.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $\sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 19 - 1 (- \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Bước 5.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (19) - 1 (- \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ .

$y = \frac{- 1 (19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Bước 5.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Bước 6

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Nâng $19$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 5 \cdot (5 x^{2} + 10 x - 9)}}{2 \cdot 5}$

Bước 6.1.2

Nhân $- 4$ với $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot (5 x^{2} + 10 x - 9)}}{2 \cdot 5}$

Bước 6.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x) - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Bước 6.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.4.1

Nhân $5$ với $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 20 (10 x) - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Bước 6.1.4.2

Nhân $10$ với $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 200 x - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Bước 6.1.4.3

Nhân $- 20$ với $- 9$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 100 x^{2} - 200 x + 180}}{2 \cdot 5}$

Bước 6.1.5

Cộng $361$ và $180$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{2 \cdot 5}$

Bước 6.2

Nhân $2$ với $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Bước 6.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$y = \frac{- 19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Bước 6.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Viết lại $- 19$ ở dạng $- 1 (19)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Bước 6.4.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 19 - (\sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Bước 6.4.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (19) - (\sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ .

$y = \frac{- 1 (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Bước 6.4.4

Viết lại $- 1 (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ ở dạng $- (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ .

$y = \frac{- (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Bước 6.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Bước 7

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$y = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

$y = - \frac{19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Bước 8

Hàm số gốc là dạng đơn giản nhất của loại hàm đã cho.

$y = x^{2}$

Bước 9

Giải $5 y^{2} + 19 y = 9 - 5 x^{2} - 10 x$ để tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Chuyển tất cả các biểu thức sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Trừ $9$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$5 y^{2} + 19 y - 9 = - 5 x^{2} - 10 x$

Bước 9.1.2

Cộng $5 x^{2}$ cho cả hai vế của phương trình.

$5 y^{2} + 19 y - 9 + 5 x^{2} = - 10 x$

Bước 9.1.3

Cộng $10 x$ cho cả hai vế của phương trình.

$5 y^{2} + 19 y - 9 + 5 x^{2} + 10 x = 0$

Bước 9.2

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 9.3

Thay các giá trị $a = 5$ , $b = 19$ , và $c = - 9 + 5 x^{2} + 10 x$ vào công thức bậc hai và giải tìm $y$ .

$\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (5 \cdot (- 9 + 5 x^{2} + 10 x))}}{2 \cdot 5}$

Bước 9.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1.1

Nâng $19$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 5 \cdot (- 9 + 5 x^{2} + 10 x)}}{2 \cdot 5}$

Bước 9.4.1.2

Nhân $- 4$ với $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot (- 9 + 5 x^{2} + 10 x)}}{2 \cdot 5}$

Bước 9.4.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot - 9 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Bước 9.4.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1.4.1

Nhân $- 20$ với $- 9$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Bước 9.4.1.4.2

Nhân $5$ với $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 100 x^{2} - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Bước 9.4.1.4.3

Nhân $10$ với $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 100 x^{2} - 200 x}}{2 \cdot 5}$

Bước 9.4.1.5

Cộng $361$ và $180$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{541 - 100 x^{2} - 200 x}}{2 \cdot 5}$

Bước 9.4.1.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{2 \cdot 5}$

Bước 9.4.2

Nhân $2$ với $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Bước 9.5

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.5.1.1

Nâng $19$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 5 \cdot (- 9 + 5 x^{2} + 10 x)}}{2 \cdot 5}$

Bước 9.5.1.2

Nhân $- 4$ với $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot (- 9 + 5 x^{2} + 10 x)}}{2 \cdot 5}$

Bước 9.5.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot - 9 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Bước 9.5.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.5.1.4.1

Nhân $- 20$ với $- 9$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Bước 9.5.1.4.2

Nhân $5$ với $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 100 x^{2} - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Bước 9.5.1.4.3

Nhân $10$ với $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 100 x^{2} - 200 x}}{2 \cdot 5}$

Bước 9.5.1.5

Cộng $361$ và $180$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{541 - 100 x^{2} - 200 x}}{2 \cdot 5}$

Bước 9.5.1.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{2 \cdot 5}$

Bước 9.5.2

Nhân $2$ với $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Bước 9.5.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$y = \frac{- 19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Bước 9.5.4

Viết lại $- 19$ ở dạng $- 1 (19)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Bước 9.5.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $\sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 19 - 1 (- \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Bước 9.5.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (19) - 1 (- \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ .

$y = \frac{- 1 (19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Bước 9.5.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Bước 9.6

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.6.1.1

Nâng $19$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 5 \cdot (- 9 + 5 x^{2} + 10 x)}}{2 \cdot 5}$

Bước 9.6.1.2

Nhân $- 4$ với $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot (- 9 + 5 x^{2} + 10 x)}}{2 \cdot 5}$

Bước 9.6.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 20 \cdot - 9 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Bước 9.6.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.6.1.4.1

Nhân $- 20$ với $- 9$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 20 (5 x^{2}) - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Bước 9.6.1.4.2

Nhân $5$ với $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 100 x^{2} - 20 (10 x)}}{2 \cdot 5}$

Bước 9.6.1.4.3

Nhân $10$ với $- 20$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 180 - 100 x^{2} - 200 x}}{2 \cdot 5}$

Bước 9.6.1.5

Cộng $361$ và $180$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{541 - 100 x^{2} - 200 x}}{2 \cdot 5}$

Bước 9.6.1.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{2 \cdot 5}$

Bước 9.6.2

Nhân $2$ với $5$ .

$y = \frac{- 19 \pm \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Bước 9.6.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$y = \frac{- 19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Bước 9.6.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.6.4.1

Viết lại $- 19$ ở dạng $- 1 (19)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Bước 9.6.4.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 19 - (\sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Bước 9.6.4.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (19) - (\sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ .

$y = \frac{- 1 (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Bước 9.6.4.4

Viết lại $- 1 (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ ở dạng $- (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})$ .

$y = \frac{- (19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541})}{10}$

Bước 9.6.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Bước 9.7

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$y = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

$y = - \frac{19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

$y = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

$y = - \frac{19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Bước 10

Giả sử rằng $y = x^{2}$ là $f (x) = x^{2}$ và $5 y^{2} + 19 y = 9 - 5 x^{2} - 10 x$ là $g (x) = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}, - \frac{19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$ .

$f (x) = x^{2}$

$g (x) = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}, - \frac{19 + \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$

Bước 11

Các hàm số đã cho là từ các dạng khác nhau. Việc chuyển đổi một hàm số không làm thay đổi dạng của nó, vì vậy không thể chuyển $f (x) = x^{2}$ thành $g (x) = - \frac{19 - \sqrt{- 100 x^{2} - 200 x + 541}}{10}$ .

Phép biến đổi hình học không khả thi

Bước 12