Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = 4 x^{3} + 2 x^{2} - 6 x + 7$ , $[- 3, - 1]$

Bước 1

Định lý giá trị trung gian cho biết, nếu $f$ là hàm liên tục có giá trị thực trên khoảng $[a, b]$ , và $u$ là một số nằm giữa $f (a)$ và $f (b)$ , thì có một $c$ ở trong khoảng $[a, b]$ sao cho $f (c) = u$ .

$u = f (c) = 0$

Bước 2

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 3

Tính $f (a) = f (- 3) = 4 {(- 3)}^{3} + 2 {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3 + 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $3$ .

$f (- 3) = 4 \cdot - 27 + 2 {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3 + 7$

Bước 3.1.2

Nhân $4$ với $- 27$ .

$f (- 3) = - 108 + 2 {(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3 + 7$

Bước 3.1.3

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 3) = - 108 + 2 \cdot 9 - 6 \cdot - 3 + 7$

Bước 3.1.4

Nhân $2$ với $9$ .

$f (- 3) = - 108 + 18 - 6 \cdot - 3 + 7$

Bước 3.1.5

Nhân $- 6$ với $- 3$ .

$f (- 3) = - 108 + 18 + 18 + 7$

Bước 3.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Cộng $- 108$ và $18$ .

$f (- 3) = - 90 + 18 + 7$

Bước 3.2.2

Cộng $- 90$ và $18$ .

$f (- 3) = - 72 + 7$

Bước 3.2.3

Cộng $- 72$ và $7$ .

$f (- 3) = - 65$

Bước 4

Tính $f (b) = f (- 1) = 4 {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$f (- 1) = 4 \cdot - 1 + 2 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 7$

Bước 4.1.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$f (- 1) = - 4 + 2 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 7$

Bước 4.1.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 1) = - 4 + 2 \cdot 1 - 6 \cdot - 1 + 7$

Bước 4.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$f (- 1) = - 4 + 2 - 6 \cdot - 1 + 7$

Bước 4.1.5

Nhân $- 6$ với $- 1$ .

$f (- 1) = - 4 + 2 + 6 + 7$

Bước 4.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Cộng $- 4$ và $2$ .

$f (- 1) = - 2 + 6 + 7$

Bước 4.2.2

Cộng $- 2$ và $6$ .

$f (- 1) = 4 + 7$

Bước 4.2.3

Cộng $4$ và $7$ .

$f (- 1) = 11$

Bước 5

Vẽ đồ thị mỗi vế của phương trình. nghiệm là giá trị x của giao điểm.

$x \approx - 1.83607126$

Bước 6

Định lý giá trị trung gian khẳng định rằng có một nghiệm $f (c) = 0$ trên khoảng $[- 65, 11]$ vì $f$ là một hàm số liên tục trên $[- 3, - 1]$ .

Các nghiệm trong khoảng $[- 3, - 1]$ nằm ở $x \approx - 1.83607126$ .

Bước 7