Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (2) = - 1$ , $f^{- 1} (9) = 4$

Bước 1

Đưa mỗi phương trình mặt phẳng về dạng chính tắc.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $f$ .

$2 f = - 1, f^{- 1} (9) = 4$

Bước 1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 f = - 1, \frac{1}{f} \cdot 9 = 4$

Bước 1.2.2

Kết hợp $\frac{1}{f}$ và $9$ .

$2 f = - 1, \frac{9}{f} = 4$

Bước 2

Để tìm giao điểm của đường thẳng qua một điểm $(p, q, r)$ vuông góc với mặt phẳng $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ và mặt phẳng $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ :

1. Tìm các véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $P_{1}$ và mặt phẳng $P_{2}$ trong đó các véc tơ pháp tuyến là $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ và $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . Kiểm tra xem tích vô hướng có bằng 0 không.

2. Tạo một tập hợp các phương trình tham số như $x = p + a t$ , $y = q + b t$ , và $z = r + c t$ .

3. Thay các phương trình này vào phương trình mặt phẳng $P_{2}$ sao cho $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ và giải tìm $t$ .

4. Sử dụng giá trị của $t$ , giải các phương trình tham số $x = p + a t$ , $y = q + b t$ , và $z = r + c t$ để tìm $t$ để tìm giao điểm $(x, y, z)$ .

Bước 3

Tìm các vectơ thường cho mỗi mặt phẳng và xác định xem chúng có vuông góc không bằng cách tính tích vô hướng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

$P_{1}$ là $2 f = - 1$ . Tìm véc tơ pháp tuyến $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ từ phương trình mặt phẳng có dạng $a x + b y + c z = d$ .

$n_{1} = ⟨ 0, 0, 0 ⟩$

Bước 3.2

$P_{2}$ là $\frac{9}{f} = 4$ . Tìm véc tơ pháp tuyến $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ từ phương trình mặt phẳng có dạng $e x + f y + g z = h$ .

$n_{2} = ⟨ 0, 0, 0 ⟩$

Bước 3.3

Tính tích vô hướng của $n_{1}$ và $n_{2}$ bằng cách lấy tổng các tích của các giá trị tương ứng $x$ , $y$ , và $z$ trong các véc tơ pháp tuyến.

$0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0$

Bước 3.4

Rút gọn tích vô hướng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0$

Bước 3.4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Nhân $0$ với $0$ .

$0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0$

Bước 3.4.2.2

Nhân $0$ với $0$ .

$0 + 0 + 0 \cdot 0$

Bước 3.4.2.3

Nhân $0$ với $0$ .

$0 + 0 + 0$

Bước 3.4.3

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Cộng $0$ và $0$ .

$0 + 0$

Bước 3.4.3.2

Cộng $0$ và $0$ .

$0$

Bước 4

Tích vô hướng là $0$ , nên các mặt phẳng vuông góc nhau.

Không có phần giao.