Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\sin (x) = \frac{2}{9}$ , $0 < x < \frac{π}{2}$

Bước 1

Trừ $\sin (x)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$0 = \frac{2}{9} - \sin (x)$

Bước 2

Định lý giá trị trung gian cho biết, nếu $f$ là hàm liên tục có giá trị thực trên khoảng $[a, b]$ , và $u$ là một số nằm giữa $f (a)$ và $f (b)$ , thì có một $c$ ở trong khoảng $[a, b]$ sao cho $f (c) = u$ .

$u = f (c) = 0$

Bước 3

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 4

Tính $f (a) = f (0) = \frac{2}{9} - \sin (0)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$f (0) = \frac{2}{9} - 0$

Bước 4.1.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$f (0) = \frac{2}{9} + 0$

Bước 4.2

Cộng $\frac{2}{9}$ và $0$ .

$f (0) = \frac{2}{9}$

Bước 5

Tính $f (b) = f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{9} - \sin (\frac{π}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{9} - 1 \cdot 1$

Bước 5.1.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{9} - 1$

Bước 5.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}$

Bước 5.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}$

Bước 5.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2 - 1 \cdot 9}{9}$

Bước 5.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Nhân $- 1$ với $9$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2 - 9}{9}$

Bước 5.5.2

Trừ $9$ khỏi $2$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{- 7}{9}$

Bước 5.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (\frac{π}{2}) = - \frac{7}{9}$

Bước 6

Since $0$ is on the interval $[- \frac{7}{9}, \frac{2}{9}]$ , solve the equation for $x$ at the root.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{2}{9} - \sin (x) = 0$ .

$\frac{2}{9} - \sin (x) = 0$

Bước 6.2

Trừ $\frac{2}{9}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- \sin (x) = - \frac{2}{9}$

Bước 6.3

Chia mỗi số hạng trong $- \sin (x) = - \frac{2}{9}$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Chia mỗi số hạng trong $- \sin (x) = - \frac{2}{9}$ cho $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- \frac{2}{9}}{- 1}$

Bước 6.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- \frac{2}{9}}{- 1}$

Bước 6.3.2.2

Chia $\sin (x)$ cho $1$ .

$\sin (x) = \frac{- \frac{2}{9}}{- 1}$

Bước 6.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\sin (x) = \frac{\frac{2}{9}}{1}$

Bước 6.3.3.2

Chia $\frac{2}{9}$ cho $1$ .

$\sin (x) = \frac{2}{9}$

Bước 6.4

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (\frac{2}{9})$

Bước 6.5

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Tính $\arcsin (\frac{2}{9})$ .

$x = 0.22409309$

Bước 6.6

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$x = (3.14159265) - 0.22409309$

Bước 6.7

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x = 3.14159265 - 0.22409309$

Bước 6.7.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x = (3.14159265) - 0.22409309$

Bước 6.7.3

Trừ $0.22409309$ khỏi $3.14159265$ .

$x = 2.91749956$

Bước 6.8

Tìm chu kỳ của $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 6.8.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 6.8.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 6.8.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 6.9

Chu kỳ của hàm $\sin (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 0.22409309 + 2 π n, 2.91749956 + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 7

Định lý giá trị trung gian khẳng định rằng có một nghiệm $f (c) = 0$ trên khoảng $[- \frac{7}{9}, \frac{2}{9}]$ vì $f$ là một hàm số liên tục trên $[0, \frac{π}{2}]$ .

Các nghiệm trong khoảng $[0, \frac{π}{2}]$ nằm ở .

Bước 8