Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16}$

Bước 1

Đây là dãy cấp số nhân vì giữa các số hạng kề nhau có một tỉ số chung. Trong trường hợp này, ta nhân số hạng đứng trước với $\frac{1}{2}$ sẽ cho ra số hạng kế tiếp trong dãy. Nói cách khác, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Cấp số nhân: $r = \frac{1}{2}$

Bước 2

Đây là dạng của một cấp số nhân.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Bước 3

Thay vào các giá trị của $a_{1} = \frac{1}{2}$ và $r = \frac{1}{2}$ .

$a_{n} = \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$

Bước 4

Nhân $\frac{1}{2}$ với ${(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với ${(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Nâng $\frac{1}{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{1} {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$

Bước 4.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{1 + n - 1}$

Bước 4.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $1 + n - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n + 0}$

Bước 4.2.2

Cộng $n$ và $0$ .

$a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n}$

Bước 5

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$a_{n} = \frac{1^{n}}{2^{n}}$

Bước 6

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$a_{n} = \frac{1}{2^{n}}$

Bước 7

Đây là công thức để tìm tổng của $n$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân. Để tính, hãy tìm các giá trị của $r$ và $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Bước 8

Thay thế các biến bằng các giá trị đã biết để tìm $S_{4}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(\frac{1}{2})}^{4} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

Bước 9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1^{4}}{2^{4}} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

Bước 9.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2^{4}} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

Bước 9.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{16} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

Bước 9.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{16}{16}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{16} - 1 \cdot \frac{16}{16}}{\frac{1}{2} - 1}$

Bước 9.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{16}{16}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{16} + \frac{- 1 \cdot 16}{16}}{\frac{1}{2} - 1}$

Bước 9.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1 - 1 \cdot 16}{16}}{\frac{1}{2} - 1}$

Bước 9.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.7.1

Nhân $- 1$ với $16$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1 - 16}{16}}{\frac{1}{2} - 1}$

Bước 9.7.2

Trừ $16$ khỏi $1$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{- 15}{16}}{\frac{1}{2} - 1}$

Bước 9.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{1}{2} - 1}$

Bước 10

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Bước 10.2

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Bước 10.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Bước 10.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{1 - 2}{2}}$

Bước 10.4.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{- 1}{2}}$

Bước 10.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{- \frac{1}{2}}$

Bước 11

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{15}{16}}{\frac{1}{2}}$

Bước 11.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{15}{16} \cdot 2)$

Bước 11.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $\frac{15}{16} \cdot 2$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot \frac{15}{16})$

Bước 11.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot \frac{15}{16})$

Bước 11.3.3

Viết lại biểu thức.

$S_{4} = \frac{15}{16}$