Giải tích sơ cấp Ví dụ

${(1 + 3 \log_{2} (\sqrt[4]{2}))}^{2}$

Bước 1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Rút gọn $3 \log_{2} (\sqrt[4]{2})$ bằng cách di chuyển $3$ trong logarit.

${(1 + \log_{2} ({\sqrt[4]{2}}^{3}))}^{2}$

Bước 1.2

Viết lại ${\sqrt[4]{2}}^{3}$ ở dạng $\sqrt[4]{2^{3}}$ .

${(1 + \log_{2} (\sqrt[4]{2^{3}}))}^{2}$

Bước 1.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

${(1 + \log_{2} (\sqrt[4]{8}))}^{2}$

Bước 2

Viết lại $\log_{2} (\sqrt[4]{8})$ bằng công thức đổi cơ số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Quy tắc đổi cơ số có thể được sử dụng nếu $a$ và $b$ lớn hơn $0$ và không bằng $1$ , và $x$ lớn hơn $0$ .

${(1 + \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)})}^{2}$

Bước 2.2

Thay vào các giá trị cho các biến trong công thức đổi cơ số, sử dụng $b = 10$ .

${(1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)})}^{2}$

Bước 3

Viết lại ${(1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)})}^{2}$ ở dạng $(1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)}) (1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)})$ .

$(1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)}) (1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)})$

Bước 4

Khai triển $(1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)}) (1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)})$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 (1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)}) + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} (1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)})$

Bước 4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 \cdot 1 + 1 \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} (1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)})$

Bước 4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 \cdot 1 + 1 \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} \cdot 1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} \cdot \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)}$

Bước 5

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Nhân $1$ với $1$ .

$1 + 1 \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} \cdot 1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} \cdot \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)}$

Bước 5.1.2

Nhân $\frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)}$ với $1$ .

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} \cdot 1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} \cdot \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)}$

Bước 5.1.3

Nhân $\frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)}$ với $1$ .

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} \cdot \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)}$

Bước 5.1.4

Nhân $\frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} \cdot \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.1

Nhân $\frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)}$ với $\frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)}$ .

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8}) \log (\sqrt[4]{8})}{\log (2) \log (2)}$

Bước 5.1.4.2

Nâng $\log (\sqrt[4]{8})$ lên lũy thừa $1$ .

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log^{1} (\sqrt[4]{8}) \log (\sqrt[4]{8})}{\log (2) \log (2)}$

Bước 5.1.4.3

Nâng $\log (\sqrt[4]{8})$ lên lũy thừa $1$ .

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log^{1} (\sqrt[4]{8}) \log^{1} (\sqrt[4]{8})}{\log (2) \log (2)}$

Bước 5.1.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{{\log (\sqrt[4]{8})}^{1 + 1}}{\log (2) \log (2)}$

Bước 5.1.4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log (2) \log (2)}$

Bước 5.1.4.6

Nâng $\log (2)$ lên lũy thừa $1$ .

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{1} (2) \log (2)}$

Bước 5.1.4.7

Nâng $\log (2)$ lên lũy thừa $1$ .

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{1} (2) \log^{1} (2)}$

Bước 5.1.4.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{{\log (2)}^{1 + 1}}$

Bước 5.1.4.9

Cộng $1$ và $1$ .

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{2} (2)}$

Bước 5.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8}) + \log (\sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{2} (2)}$

Bước 6

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8} \sqrt[4]{8})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{2} (2)}$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{8 \cdot 8})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{2} (2)}$

Bước 7.2

Nhân $8$ với $8$ .

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{64})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{2} (2)}$

Bước 7.3

Viết lại $64$ ở dạng $2^{4} \cdot 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Đưa $16$ ra ngoài $64$ .

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{16 (4)})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{2} (2)}$

Bước 7.3.2

Viết lại $16$ ở dạng $2^{4}$ .

$1 + \frac{\log (\sqrt[4]{2^{4} \cdot 4})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{2} (2)}$

Bước 7.4

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$1 + \frac{\log (2 \sqrt[4]{4})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{2} (2)}$

Bước 7.5

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$1 + \frac{\log (2 \sqrt[4]{2^{2}})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{2} (2)}$

Bước 7.6

Viết lại $\sqrt[4]{2^{2}}$ ở dạng $\sqrt{\sqrt{2^{2}}}$ .

$1 + \frac{\log (2 \sqrt{\sqrt{2^{2}}})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{2} (2)}$

Bước 7.7

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$1 + \frac{\log (2 \sqrt{2})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{2} (2)}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$1 + \frac{\log (2 \sqrt{2})}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (\sqrt[4]{8})}{\log^{2} (2)}$

Dạng thập phân:

$3.0625$