Giải tích sơ cấp Ví dụ

$lim_{n \to 8} \frac{n!}{n^{n}}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{lim_{n \to 8} n^{n}}$

Bước 2

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $n^{n}$ ở dạng $e^{\ln (n^{n})}$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{lim_{n \to 8} e^{\ln (n^{n})}}$

Bước 2.2

Khai triển $\ln (n^{n})$ bằng cách di chuyển $n$ ra bên ngoài lôgarit.

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{lim_{n \to 8} e^{n \ln (n)}}$

Bước 3

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{e^{lim_{n \to 8} n \ln (n)}}$

Bước 3.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot lim_{n \to 8} \ln (n)}}$

Bước 3.3

Chuyển giới hạn vào bên trong logarit.

$\frac{lim_{n \to 8} n!}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Bước 4

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $8$ cho tất cả các lần xảy ra của $n$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giới hạn của $n!$ bằng cách điền vào $8$ cho $n$ .

$\frac{8!}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Bước 4.2

Khai triển $8!$ thành $8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ .

$\frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Bước 4.3

Nhân $8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nhân $8$ với $7$ .

$\frac{56 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Bước 4.3.2

Nhân $56$ với $6$ .

$\frac{336 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Bước 4.3.3

Nhân $336$ với $5$ .

$\frac{1680 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Bước 4.3.4

Nhân $1680$ với $4$ .

$\frac{6720 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Bước 4.3.5

Nhân $6720$ với $3$ .

$\frac{20160 \cdot 2 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Bước 4.3.6

Nhân $20160$ với $2$ .

$\frac{40320 \cdot 1}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Bước 4.3.7

Nhân $40320$ với $1$ .

$\frac{40320}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Bước 4.4

Tính giới hạn của $n$ bằng cách điền vào $8$ cho $n$ .

$\frac{40320}{e^{8 \cdot \ln (lim_{n \to 8} n)}}$

Bước 4.5

Tính giới hạn của $n$ bằng cách điền vào $8$ cho $n$ .

$\frac{40320}{e^{8 \cdot \ln (8)}}$

Bước 5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Rút gọn $8 \cdot \ln (8)$ bằng cách di chuyển $8$ trong logarit.

$\frac{40320}{e^{\ln (8^{8})}}$

Bước 5.1.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$\frac{40320}{8^{8}}$

Bước 5.1.3

Nâng $8$ lên lũy thừa $8$ .

$\frac{40320}{16777216}$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung của $40320$ và $16777216$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $128$ ra ngoài $40320$ .

$\frac{128 (315)}{16777216}$

Bước 5.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Đưa $128$ ra ngoài $16777216$ .

$\frac{128 \cdot 315}{128 \cdot 131072}$

Bước 5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{128 \cdot 315}{128 \cdot 131072}$

Bước 5.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{315}{131072}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{315}{131072}$

Dạng thập phân:

$0.00240325 \dots$