Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x^{2} + 2 x + 1}{x^{3} - 8}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x^{2} + lim_{x \to 2} 2 x + lim_{x \to 2} 1}{x^{3} - 8}$

Bước 2

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 2 x + lim_{x \to 2} 1}{x^{3} - 8}$

Bước 3

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 2 x + lim_{x \to 2} 1}{x^{3} - 8}$

Bước 4

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 1}{x^{3} - 8}$

Bước 5

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x + 1}{x^{3} - 8}$

Bước 6

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $2$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $2$ cho $x$ .

$\frac{3 \cdot 2^{2} + 2 lim_{x \to 2} x + 1}{x^{3} - 8}$

Bước 6.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $2$ cho $x$ .

$\frac{3 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2 + 1}{x^{3} - 8}$

Bước 7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{3 \cdot 4 + 2 \cdot 2 + 1}{x^{3} - 8}$

Bước 7.1.2

Nhân $3$ với $4$ .

$\frac{12 + 2 \cdot 2 + 1}{x^{3} - 8}$

Bước 7.1.3

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{12 + 4 + 1}{x^{3} - 8}$

Bước 7.1.4

Cộng $12$ và $4$ .

$\frac{16 + 1}{x^{3} - 8}$

Bước 7.1.5

Cộng $16$ và $1$ .

$\frac{17}{x^{3} - 8}$

Bước 7.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Viết lại $8$ ở dạng $2^{3}$ .

$\frac{17}{x^{3} - 2^{3}}$

Bước 7.2.2

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó $a = x$ và $b = 2$ .

$\frac{17}{(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})}$

Bước 7.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{17}{(x - 2) (x^{2} + 2 \cdot x + 2^{2})}$

Bước 7.2.3.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{17}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$