Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\sqrt{{(1 - t^{2})}^{2} + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Bước 1

Viết lại ${(1 - t^{2})}^{2}$ ở dạng $(1 - t^{2}) (1 - t^{2})$ .

$\sqrt{(1 - t^{2}) (1 - t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Bước 2

Khai triển $(1 - t^{2}) (1 - t^{2})$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sqrt{1 (1 - t^{2}) - t^{2} (1 - t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Bước 2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sqrt{1 \cdot 1 + 1 (- t^{2}) - t^{2} (1 - t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Bước 2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sqrt{1 \cdot 1 + 1 (- t^{2}) - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Bước 3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Nhân $1$ với $1$ .

$\sqrt{1 + 1 (- t^{2}) - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Bước 3.1.2

Nhân $- t^{2}$ với $1$ .

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} \cdot 1 - t^{2} (- t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Bước 3.1.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} - t^{2} (- t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Bước 3.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} - 1 \cdot - 1 t^{2} t^{2} + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Bước 3.1.5

Nhân $t^{2}$ với $t^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.5.1

Di chuyển $t^{2}$ .

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} - 1 \cdot - 1 (t^{2} t^{2}) + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Bước 3.1.5.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} - 1 \cdot - 1 t^{2 + 2} + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Bước 3.1.5.3

Cộng $2$ và $2$ .

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} - 1 \cdot - 1 t^{4} + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Bước 3.1.6

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} + 1 t^{4} + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Bước 3.1.7

Nhân $t^{4}$ với $1$ .

$\sqrt{1 - t^{2} - t^{2} + t^{4} + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Bước 3.2

Trừ $t^{2}$ khỏi $- t^{2}$ .

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + {(2 t)}^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Bước 4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 t$ .

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 2^{2} t^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Bước 4.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + {(1 + t^{2})}^{2}}$

Bước 4.3

Viết lại ${(1 + t^{2})}^{2}$ ở dạng $(1 + t^{2}) (1 + t^{2})$ .

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + (1 + t^{2}) (1 + t^{2})}$

Bước 5

Khai triển $(1 + t^{2}) (1 + t^{2})$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 (1 + t^{2}) + t^{2} (1 + t^{2})}$

Bước 5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 \cdot 1 + 1 t^{2} + t^{2} (1 + t^{2})}$

Bước 5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 \cdot 1 + 1 t^{2} + t^{2} \cdot 1 + t^{2} t^{2}}$

Bước 6

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Nhân $1$ với $1$ .

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 + 1 t^{2} + t^{2} \cdot 1 + t^{2} t^{2}}$

Bước 6.1.2

Nhân $t^{2}$ với $1$ .

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 + t^{2} + t^{2} \cdot 1 + t^{2} t^{2}}$

Bước 6.1.3

Nhân $t^{2}$ với $1$ .

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 + t^{2} + t^{2} + t^{2} t^{2}}$

Bước 6.1.4

Nhân $t^{2}$ với $t^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.4.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 + t^{2} + t^{2} + t^{2 + 2}}$

Bước 6.1.4.2

Cộng $2$ và $2$ .

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 + t^{2} + t^{2} + t^{4}}$

Bước 6.2

Cộng $t^{2}$ và $t^{2}$ .

$\sqrt{1 - 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 1 + 2 t^{2} + t^{4}}$

Bước 7

Cộng $1$ và $1$ .

$\sqrt{- 2 t^{2} + t^{4} + 4 t^{2} + 2 + 2 t^{2} + t^{4}}$

Bước 8

Cộng $- 2 t^{2}$ và $4 t^{2}$ .

$\sqrt{t^{4} + 2 t^{2} + 2 + 2 t^{2} + t^{4}}$

Bước 9

Cộng $t^{4}$ và $t^{4}$ .

$\sqrt{2 t^{4} + 2 t^{2} + 2 + 2 t^{2}}$

Bước 10

Cộng $2 t^{2}$ và $2 t^{2}$ .

$\sqrt{2 t^{4} + 4 t^{2} + 2}$

Bước 11

Viết lại $2 t^{4} + 4 t^{2} + 2$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 t^{4} + 4 t^{2} + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 t^{4}$ .

$\sqrt{2 (t^{4}) + 4 t^{2} + 2}$

Bước 11.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $4 t^{2}$ .

$\sqrt{2 (t^{4}) + 2 (2 t^{2}) + 2}$

Bước 11.1.3

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\sqrt{2 (t^{4}) + 2 (2 t^{2}) + 2 (1)}$

Bước 11.1.4

Đưa $2$ ra ngoài $2 (t^{4}) + 2 (2 t^{2})$ .

$\sqrt{2 (t^{4} + 2 t^{2}) + 2 (1)}$

Bước 11.1.5

Đưa $2$ ra ngoài $2 (t^{4} + 2 t^{2}) + 2 (1)$ .

$\sqrt{2 (t^{4} + 2 t^{2} + 1)}$

Bước 11.2

Viết lại $t^{4}$ ở dạng ${(t^{2})}^{2}$ .

$\sqrt{2 ({(t^{2})}^{2} + 2 t^{2} + 1)}$

Bước 11.3

Giả sử $u = t^{2}$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $t^{2}$ .

$\sqrt{2 (u^{2} + 2 u + 1)}$

Bước 11.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\sqrt{2 (u^{2} + 2 u + 1^{2})}$

Bước 11.4.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Bước 11.4.3

Viết lại đa thức này.

$\sqrt{2 (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2})}$

Bước 11.4.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , trong đó $a = u$ và $b = 1$ .

$\sqrt{2 {(u + 1)}^{2}}$

Bước 11.5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $t^{2}$ .

$\sqrt{2 {(t^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 12

Viết lại $2 {(t^{2} + 1)}^{2}$ ở dạng ${(t^{2} + 1^{2})}^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Sắp xếp lại $2$ và ${(t^{2} + 1)}^{2}$ .

$\sqrt{{(t^{2} + 1)}^{2} \cdot 2}$

Bước 12.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\sqrt{{(t^{2} + 1^{2})}^{2} \cdot 2}$

Bước 13

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$(t^{2} + 1^{2}) \sqrt{2}$

Bước 14

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$(t^{2} + 1) \sqrt{2}$