Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{4 i}{1 - i} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Bước 1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân tử số và mẫu số của $\frac{4 i}{1 - i}$ với liên hợp của $1 - i$ để biến mẫu số thành số thực.

$\frac{4 i}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Bước 1.2

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Kết hợp.

$\frac{4 i (1 + i)}{(1 - i) (1 + i)} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Bước 1.2.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 i \cdot 1 + 4 i i}{(1 - i) (1 + i)} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Bước 1.2.2.2

Nhân $4$ với $1$ .

$\frac{4 i + 4 i i}{(1 - i) (1 + i)} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Bước 1.2.2.3

Nhân $4 i i$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.3.1

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{4 i + 4 (i^{1} i)}{(1 - i) (1 + i)} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Bước 1.2.2.3.2

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{4 i + 4 (i^{1} i^{1})}{(1 - i) (1 + i)} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Bước 1.2.2.3.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{4 i + 4 i^{1 + 1}}{(1 - i) (1 + i)} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Bước 1.2.2.3.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{4 i + 4 i^{2}}{(1 - i) (1 + i)} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Bước 1.2.2.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.4.1

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$\frac{4 i + 4 \cdot - 1}{(1 - i) (1 + i)} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Bước 1.2.2.4.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\frac{4 i - 4}{(1 - i) (1 + i)} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Bước 1.2.2.5

Sắp xếp lại $4 i$ và $- 4$ .

$\frac{- 4 + 4 i}{(1 - i) (1 + i)} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Bước 1.2.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Khai triển $(1 - i) (1 + i)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- 4 + 4 i}{1 (1 + i) - i (1 + i)} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Bước 1.2.3.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- 4 + 4 i}{1 \cdot 1 + 1 i - i (1 + i)} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Bước 1.2.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- 4 + 4 i}{1 \cdot 1 + 1 i - i \cdot 1 - i i} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Bước 1.2.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Nhân $1$ với $1$ .

$\frac{- 4 + 4 i}{1 + 1 i - i \cdot 1 - i i} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Bước 1.2.3.2.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{- 4 + 4 i}{1 + 1 i - i - i i} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Bước 1.2.3.2.3

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- 4 + 4 i}{1 + 1 i - i - (i^{1} i)} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Bước 1.2.3.2.4

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- 4 + 4 i}{1 + 1 i - i - (i^{1} i^{1})} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Bước 1.2.3.2.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{- 4 + 4 i}{1 + 1 i - i - i^{1 + 1}} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Bước 1.2.3.2.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{- 4 + 4 i}{1 + 1 i - i - i^{2}} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Bước 1.2.3.2.7

Trừ $i$ khỏi $1 i$ .

$\frac{- 4 + 4 i}{1 + 0 - i^{2}} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Bước 1.2.3.2.8

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{- 4 + 4 i}{1 - i^{2}} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Bước 1.2.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.3.1

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$\frac{- 4 + 4 i}{1 - - 1} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Bước 1.2.3.3.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{- 4 + 4 i}{1 + 1} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Bước 1.2.3.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{- 4 + 4 i}{2} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Bước 1.3

Triệt tiêu thừa số chung của $- 4 + 4 i$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2 + 4 i}{2} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Bước 1.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $4 i$ .

$\frac{2 \cdot - 2 + 2 (2 i)}{2} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Bước 1.3.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (- 2) + 2 (2 i)$ .

$\frac{2 (- 2 + 2 i)}{2} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Bước 1.3.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (- 2 + 2 i)}{2 (1)} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Bước 1.3.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (- 2 + 2 i)}{2 \cdot 1} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Bước 1.3.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 2 + 2 i}{1} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Bước 1.3.4.4

Chia $- 2 + 2 i$ cho $1$ .

$- 2 + 2 i - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Bước 1.4

Nhân tử số và mẫu số của $\frac{8 + i}{2 + 3 i}$ với liên hợp của $2 + 3 i$ để biến mẫu số thành số thực.

$- 2 + 2 i - (\frac{8 + i}{2 + 3 i} \cdot \frac{2 - 3 i}{2 - 3 i})$

Bước 1.5

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Kết hợp.

$- 2 + 2 i - \frac{(8 + i) (2 - 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Bước 1.5.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1

Khai triển $(8 + i) (2 - 3 i)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 2 + 2 i - \frac{8 (2 - 3 i) + i (2 - 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Bước 1.5.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 2 + 2 i - \frac{8 \cdot 2 + 8 (- 3 i) + i (2 - 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Bước 1.5.2.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 2 + 2 i - \frac{8 \cdot 2 + 8 (- 3 i) + i \cdot 2 + i (- 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Bước 1.5.2.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.2.1.1

Nhân $8$ với $2$ .

$- 2 + 2 i - \frac{16 + 8 (- 3 i) + i \cdot 2 + i (- 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Bước 1.5.2.2.1.2

Nhân $- 3$ với $8$ .

$- 2 + 2 i - \frac{16 - 24 i + i \cdot 2 + i (- 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Bước 1.5.2.2.1.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $i$ .

$- 2 + 2 i - \frac{16 - 24 i + 2 \cdot i + i (- 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Bước 1.5.2.2.1.4

Nhân $i (- 3 i)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.2.1.4.1

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$- 2 + 2 i - \frac{16 - 24 i + 2 i - 3 (i^{1} i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Bước 1.5.2.2.1.4.2

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$- 2 + 2 i - \frac{16 - 24 i + 2 i - 3 (i^{1} i^{1})}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Bước 1.5.2.2.1.4.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 2 + 2 i - \frac{16 - 24 i + 2 i - 3 i^{1 + 1}}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Bước 1.5.2.2.1.4.4

Cộng $1$ và $1$ .

$- 2 + 2 i - \frac{16 - 24 i + 2 i - 3 i^{2}}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Bước 1.5.2.2.1.5

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$- 2 + 2 i - \frac{16 - 24 i + 2 i - 3 \cdot - 1}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Bước 1.5.2.2.1.6

Nhân $- 3$ với $- 1$ .

$- 2 + 2 i - \frac{16 - 24 i + 2 i + 3}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Bước 1.5.2.2.2

Cộng $16$ và $3$ .

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 24 i + 2 i}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Bước 1.5.2.2.3

Cộng $- 24 i$ và $2 i$ .

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 22 i}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Bước 1.5.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.1

Khai triển $(2 + 3 i) (2 - 3 i)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 22 i}{2 (2 - 3 i) + 3 i (2 - 3 i)}$

Bước 1.5.3.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 22 i}{2 \cdot 2 + 2 (- 3 i) + 3 i (2 - 3 i)}$

Bước 1.5.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 22 i}{2 \cdot 2 + 2 (- 3 i) + 3 i \cdot 2 + 3 i (- 3 i)}$

Bước 1.5.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.1

Nhân $2$ với $2$ .

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 22 i}{4 + 2 (- 3 i) + 3 i \cdot 2 + 3 i (- 3 i)}$

Bước 1.5.3.2.2

Nhân $- 3$ với $2$ .

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 22 i}{4 - 6 i + 3 i \cdot 2 + 3 i (- 3 i)}$

Bước 1.5.3.2.3

Nhân $2$ với $3$ .

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 22 i}{4 - 6 i + 6 i + 3 i (- 3 i)}$

Bước 1.5.3.2.4

Nhân $- 3$ với $3$ .

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 22 i}{4 - 6 i + 6 i - 9 i i}$

Bước 1.5.3.2.5

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 22 i}{4 - 6 i + 6 i - 9 (i^{1} i)}$

Bước 1.5.3.2.6

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 22 i}{4 - 6 i + 6 i - 9 (i^{1} i^{1})}$

Bước 1.5.3.2.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 22 i}{4 - 6 i + 6 i - 9 i^{1 + 1}}$

Bước 1.5.3.2.8

Cộng $1$ và $1$ .

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 22 i}{4 - 6 i + 6 i - 9 i^{2}}$

Bước 1.5.3.2.9

Cộng $- 6 i$ và $6 i$ .

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 22 i}{4 + 0 - 9 i^{2}}$

Bước 1.5.3.2.10

Cộng $4$ và $0$ .

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 22 i}{4 - 9 i^{2}}$

Bước 1.5.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.3.1

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 22 i}{4 - 9 \cdot - 1}$

Bước 1.5.3.3.2

Nhân $- 9$ với $- 1$ .

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 22 i}{4 + 9}$

Bước 1.5.3.4

Cộng $4$ và $9$ .

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 22 i}{13}$

Bước 1.6

Tách phân số $\frac{19 - 22 i}{13}$ thành hai phân số.

$- 2 + 2 i - (\frac{19}{13} + \frac{- 22 i}{13})$

Bước 1.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- 2 + 2 i - (\frac{19}{13} - \frac{22 i}{13})$

Bước 1.8

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 2 + 2 i - \frac{19}{13} - - \frac{22 i}{13}$

Bước 1.9

Nhân $- - \frac{22 i}{13}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.9.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- 2 + 2 i - \frac{19}{13} + 1 \frac{22 i}{13}$

Bước 1.9.2

Nhân $\frac{22 i}{13}$ với $1$ .

$- 2 + 2 i - \frac{19}{13} + \frac{22 i}{13}$

Bước 2

Để viết $- 2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{13}{13}$ .

$- 2 \cdot \frac{13}{13} - \frac{19}{13} + 2 i + \frac{22 i}{13}$

Bước 3

Kết hợp $- 2$ và $\frac{13}{13}$ .

$\frac{- 2 \cdot 13}{13} - \frac{19}{13} + 2 i + \frac{22 i}{13}$

Bước 4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 2 \cdot 13 - 19}{13} + 2 i + \frac{22 i}{13}$

Bước 5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $- 2$ với $13$ .

$\frac{- 26 - 19}{13} + 2 i + \frac{22 i}{13}$

Bước 5.2

Trừ $19$ khỏi $- 26$ .

$\frac{- 45}{13} + 2 i + \frac{22 i}{13}$

Bước 6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{45}{13} + 2 i + \frac{22 i}{13}$

Bước 7

Để viết $2 i$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{13}{13}$ .

$- \frac{45}{13} + 2 i \cdot \frac{13}{13} + \frac{22 i}{13}$

Bước 8

Kết hợp $2 i$ và $\frac{13}{13}$ .

$- \frac{45}{13} + \frac{2 i \cdot 13}{13} + \frac{22 i}{13}$

Bước 9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{45}{13} + \frac{48 i}{13}$