Giải tích sơ cấp Ví dụ

$3 + \csc (x) = \frac{5}{3 - 2 \sin (x)}$

Bước 1

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $x$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Trừ $\frac{5}{3 - 2 \sin (x)}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\csc (x) - \frac{5}{3 - 2 \sin (x)} = - 3$

Bước 1.2

Viết lại $\csc (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{5}{3 - 2 \sin (x)} = - 3$

Bước 1.3

Để viết $\frac{1}{\sin (x)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3 - 2 \sin (x)}{3 - 2 \sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{3 - 2 \sin (x)}{3 - 2 \sin (x)} - \frac{5}{3 - 2 \sin (x)} = - 3$

Bước 1.4

Để viết $- \frac{5}{3 - 2 \sin (x)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{3 - 2 \sin (x)}{3 - 2 \sin (x)} - \frac{5}{3 - 2 \sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} = - 3$

Bước 1.5

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $\sin (x) (3 - 2 \sin (x))$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Nhân $\frac{1}{\sin (x)}$ với $\frac{3 - 2 \sin (x)}{3 - 2 \sin (x)}$ .

$\frac{3 - 2 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} - \frac{5}{3 - 2 \sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} = - 3$

Bước 1.5.2

Nhân $\frac{5}{3 - 2 \sin (x)}$ với $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{3 - 2 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} - \frac{5 \sin (x)}{(3 - 2 \sin (x)) \sin (x)} = - 3$

Bước 1.5.3

Sắp xếp lại các thừa số của $(3 - 2 \sin (x)) \sin (x)$ .

$\frac{3 - 2 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} - \frac{5 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} = - 3$

Bước 1.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3 - 2 \sin (x) - 5 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} = - 3$

Bước 1.7

Trừ $5 \sin (x)$ khỏi $- 2 \sin (x)$ .

$\frac{3 - 7 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} = - 3$

Bước 2

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$\sin (x) (3 - 2 \sin (x)), 1$

Bước 2.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$\sin (x) (3 - 2 \sin (x))$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{3 - 7 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} = - 3$ với $\sin (x) (3 - 2 \sin (x))$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{3 - 7 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} = - 3$ với $\sin (x) (3 - 2 \sin (x))$ .

$\frac{3 - 7 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} (\sin (x) (3 - 2 \sin (x))) = - 3 (\sin (x) (3 - 2 \sin (x)))$

Bước 3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (x) (3 - 2 \sin (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 - 7 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} (\sin (x) (3 - 2 \sin (x))) = - 3 (\sin (x) (3 - 2 \sin (x)))$

Bước 3.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (\sin (x) (3 - 2 \sin (x)))$

Bước 3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (\sin (x) \cdot 3 + \sin (x) (- 2 \sin (x)))$

Bước 3.3.1.2

Sắp xếp lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.2.1

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\sin (x)$ .

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (3 \cdot \sin (x) + \sin (x) (- 2 \sin (x)))$

Bước 3.3.1.2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (3 \cdot \sin (x) - 2 \sin (x) \sin (x))$

Bước 3.3.2

Nhân $\sin (x)$ với $\sin (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Di chuyển $\sin (x)$ .

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (3 \sin (x) - 2 (\sin (x) \sin (x)))$

Bước 3.3.2.2

Nhân $\sin (x)$ với $\sin (x)$ .

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (3 \sin (x) - 2 \sin^{2} (x))$

Bước 3.3.3

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (3 \sin (x)) - 3 (- 2 \sin^{2} (x))$

Bước 3.3.3.2

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.2.1

Nhân $3$ với $- 3$ .

$3 - 7 \sin (x) = - 9 \sin (x) - 3 (- 2 \sin^{2} (x))$

Bước 3.3.3.2.2

Nhân $- 2$ với $- 3$ .

$3 - 7 \sin (x) = - 9 \sin (x) + 6 \sin^{2} (x)$

Bước 4

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $\sin (x)$ nằm ở vế phải phương trình, ta hoán đổi vế để nó nằm ở vế trái của phương trình.

$- 9 \sin (x) + 6 \sin^{2} (x) = 3 - 7 \sin (x)$

Bước 4.2

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $\sin (x)$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Cộng $7 \sin (x)$ cho cả hai vế của phương trình.

$- 9 \sin (x) + 6 \sin^{2} (x) + 7 \sin (x) = 3$

Bước 4.2.2

Cộng $- 9 \sin (x)$ và $7 \sin (x)$ .

$6 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) = 3$

Bước 4.3

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$6 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) - 3 = 0$

Bước 4.4

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 4.5

Thay các giá trị $a = 6$ , $b = - 2$ , và $c = - 3$ vào công thức bậc hai và giải tìm $\sin (x)$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (6 \cdot - 3)}}{2 \cdot 6}$

Bước 4.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 6 \cdot - 3}}{2 \cdot 6}$

Bước 4.6.1.2

Nhân $- 4 \cdot 6 \cdot - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1.2.1

Nhân $- 4$ với $6$ .

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 24 \cdot - 3}}{2 \cdot 6}$

Bước 4.6.1.2.2

Nhân $- 24$ với $- 3$ .

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 72}}{2 \cdot 6}$

Bước 4.6.1.3

Cộng $4$ và $72$ .

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 6}$

Bước 4.6.1.4

Viết lại $76$ ở dạng $2^{2} \cdot 19$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $76$ .

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 6}$

Bước 4.6.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 6}$

Bước 4.6.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\sin (x) = \frac{2 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 6}$

Bước 4.6.2

Nhân $2$ với $6$ .

$\sin (x) = \frac{2 \pm 2 \sqrt{19}}{12}$

Bước 4.6.3

Rút gọn $\frac{2 \pm 2 \sqrt{19}}{12}$ .

$\sin (x) = \frac{1 \pm \sqrt{19}}{6}$

Bước 4.7

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{19}}{6}, \frac{1 - \sqrt{19}}{6}$

Bước 5

Lập từng đáp án để giải tìm $x$ .

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{19}}{6}$

$\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{19}}{6}$

Bước 6

Giải tìm $x$ trong $\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{19}}{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (\frac{1 + \sqrt{19}}{6})$

Bước 6.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Tính $\arcsin (\frac{1 + \sqrt{19}}{6})$ .

$x = 1.10430054$

Bước 6.3

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$x = (3.14159265) - 1.10430054$

Bước 6.4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x = 3.14159265 - 1.10430054$

Bước 6.4.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x = (3.14159265) - 1.10430054$

Bước 6.4.3

Trừ $1.10430054$ khỏi $3.14159265$ .

$x = 2.0372921$

Bước 6.5

Tìm chu kỳ của $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 6.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 6.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 6.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 6.6

Chu kỳ của hàm $\sin (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 1.10430054 + 2 π n, 2.0372921 + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 7

Giải tìm $x$ trong $\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{19}}{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (\frac{1 - \sqrt{19}}{6})$

Bước 7.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Tính $\arcsin (\frac{1 - \sqrt{19}}{6})$ .

$x = - 0.59416431$

Bước 7.3

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$x = (3.14159265) + 0.59416431$

Bước 7.4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x = 3.14159265 + 0.59416431$

Bước 7.4.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x = (3.14159265) + 0.59416431$

Bước 7.4.3

Cộng $3.14159265$ và $0.59416431$ .

$x = 3.73575697$

Bước 7.5

Tìm chu kỳ của $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 7.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 7.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 7.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 7.6

Cộng $2 π$ vào mọi góc âm để có được các góc dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.1

Cộng $2 π$ vào $- 0.59416431$ để tìm góc dương.

$- 0.59416431 + 2 π$

Bước 7.6.2

Trừ $0.59416431$ khỏi $2 π$ .

$5.68902098$

Bước 7.6.3

Liệt kê các góc mới.

$x = 5.68902098$

Bước 7.7

Chu kỳ của hàm $\sin (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 3.73575697 + 2 π n, 5.68902098 + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 8

Liệt kê tất cả các đáp án.

$x = 1.10430054 + 2 π n, 2.0372921 + 2 π n, 3.73575697 + 2 π n, 5.68902098 + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$