Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\sin (x) - 2 \cos^{2} (x) = 0$

Bước 1

Thay thế $- 2 \cos^{2} (x)$ bằng $- 2 (1 - \sin^{2} (x))$ dựa trên đẳng thức $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$\sin (x) - 2 (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

Bước 2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sin (x) - 2 \cdot 1 - 2 (- \sin^{2} (x)) = 0$

Bước 2.2

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\sin (x) - 2 - 2 (- \sin^{2} (x)) = 0$

Bước 2.3

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$\sin (x) - 2 + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Bước 3

Sắp xếp lại đa thức.

$2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 = 0$

Bước 4

Thay $u$ bằng $\sin (x)$ .

$2 {(u)}^{2} + u - 2 = 0$

Bước 5

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 6

Thay các giá trị $a = 2$ , $b = 1$ , và $c = - 2$ vào công thức bậc hai và giải tìm $u$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 2}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Bước 7.1.2

Nhân $- 4 \cdot 2 \cdot - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.2.1

Nhân $- 4$ với $2$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Bước 7.1.2.2

Nhân $- 8$ với $- 2$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2 \cdot 2}$

Bước 7.1.3

Cộng $1$ và $16$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Bước 7.2

Nhân $2$ với $2$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{17}}{4}$

Bước 8

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$u = - \frac{1 - \sqrt{17}}{4}, - \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$

Bước 9

Thay $\sin (x)$ bằng $u$ .

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{17}}{4}, - \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$

Bước 10

Lập từng đáp án để giải tìm $x$ .

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{17}}{4}$

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$

Bước 11

Giải tìm $x$ trong $\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{17}}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (- \frac{1 - \sqrt{17}}{4})$

Bước 11.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Tính $\arcsin (- \frac{1 - \sqrt{17}}{4})$ .

$x = 0.89590748$

Bước 11.3

Hàm sin âm trong góc phần tư thứ ba và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ đáp án khỏi $2 π$ , để tìm góc tham chiếu. Tiếp theo, cộng góc tham chiếu này vào $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = 2 (3.14159265) - 0.89590748 + 3.14159265$

Bước 11.4

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.1

Trừ $2 π$ khỏi $2 (3.14159265) - 0.89590748 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) - 0.89590748 + 3.14159265 - 2 π$

Bước 11.4.2

Góc tìm được $2.24568517$ dương, nhỏ hơn $2 π$ , và có chung cạnh cuối với $2 (3.14159265) - 0.89590748 + 3.14159265$ .

$x = 2.24568517$

Bước 11.5

Tìm chu kỳ của $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 11.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 11.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 11.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 11.6

Chu kỳ của hàm $\sin (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 0.89590748 + 2 π n, 2.24568517 + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 12

Giải tìm $x$ trong $\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Khoảng biến thiên của sin là $- 1 \leq y \leq 1$ . Vì $- \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$ không nằm trong khoảng biến thiên này, nên không có đáp án.

Không có đáp án

Bước 13

Liệt kê tất cả các đáp án.

$x = 0.89590748 + 2 π n, 2.24568517 + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$