Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\tan^{2} (3 x) = \sqrt{1}$

Bước 1

Trừ $\sqrt{1}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\tan^{2} (3 x) - \sqrt{1} = 0$

Bước 2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$\tan^{2} (3 x) - 1 \cdot 1 = 0$

Bước 2.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\tan^{2} (3 x) - 1 = 0$

Bước 3

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\tan^{2} (3 x) - 1^{2} = 0$

Bước 4

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = \tan (3 x)$ và $b = 1$ .

$(\tan (3 x) + 1) (\tan (3 x) - 1) = 0$

Bước 5

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$\tan (3 x) + 1 = 0$

$\tan (3 x) - 1 = 0$

Bước 6

Đặt $\tan (3 x) + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt $\tan (3 x) + 1$ bằng với $0$ .

$\tan (3 x) + 1 = 0$

Bước 6.2

Giải $\tan (3 x) + 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\tan (3 x) = - 1$

Bước 6.2.2

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm tang.

$3 x = \arctan (- 1)$

Bước 6.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Giá trị chính xác của $\arctan (- 1)$ là $- \frac{π}{4}$ .

$3 x = - \frac{π}{4}$

Bước 6.2.4

Chia mỗi số hạng trong $3 x = - \frac{π}{4}$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.4.1

Chia mỗi số hạng trong $3 x = - \frac{π}{4}$ cho $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{4}}{3}$

Bước 6.2.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{4}}{3}$

Bước 6.2.4.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{4}}{3}$

Bước 6.2.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.4.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x = - \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Bước 6.2.4.3.2

Nhân $- \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.4.3.2.1

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{3 \cdot 4}$

Bước 6.2.4.3.2.2

Nhân $3$ với $4$ .

$x = - \frac{π}{12}$

Bước 6.2.5

Hàm tang âm trong góc phần tư thứ hai và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$3 x = - \frac{π}{4} - π$

Bước 6.2.6

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.6.1

Cộng $2 π$ vào $- \frac{π}{4} - π$ .

$3 x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Bước 6.2.6.2

Góc tìm được $\frac{3 π}{4}$ dương và có cùng cạnh cuối với $- \frac{π}{4} - π$ .

$3 x = \frac{3 π}{4}$

Bước 6.2.6.3

Chia mỗi số hạng trong $3 x = \frac{3 π}{4}$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.6.3.1

Chia mỗi số hạng trong $3 x = \frac{3 π}{4}$ cho $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Bước 6.2.6.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.6.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.6.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Bước 6.2.6.3.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Bước 6.2.6.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.6.3.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Bước 6.2.6.3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.6.3.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 π$ .

$x = \frac{3 (π)}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Bước 6.2.6.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Bước 6.2.6.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$x = \frac{π}{4}$

Bước 6.2.7

Tìm chu kỳ của $\tan (3 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.7.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Bước 6.2.7.2

Thay thế $b$ với $3$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{π}{| 3 |}$

Bước 6.2.7.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $3$ là $3$ .

$\frac{π}{3}$

Bước 6.2.8

Cộng $\frac{π}{3}$ vào mọi góc âm để có được các góc dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.8.1

Cộng $\frac{π}{3}$ vào $- \frac{π}{12}$ để tìm góc dương.

$- \frac{π}{12} + \frac{π}{3}$

Bước 6.2.8.2

Để viết $\frac{π}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{12}$

Bước 6.2.8.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $12$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.8.3.1

Nhân $\frac{π}{3}$ với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{π}{12}$

Bước 6.2.8.3.2

Nhân $3$ với $4$ .

$\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π}{12}$

Bước 6.2.8.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{π \cdot 4 - π}{12}$

Bước 6.2.8.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.8.5.1

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{12}$

Bước 6.2.8.5.2

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$\frac{3 π}{12}$

Bước 6.2.8.6

Triệt tiêu thừa số chung của $3$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.8.6.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 π$ .

$\frac{3 (π)}{12}$

Bước 6.2.8.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.8.6.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $12$ .

$\frac{3 π}{3 \cdot 4}$

Bước 6.2.8.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 π}{3 \cdot 4}$

Bước 6.2.8.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{π}{4}$

Bước 6.2.8.7

Liệt kê các góc mới.

$x = \frac{π}{4}$

Bước 6.2.9

Chu kỳ của hàm $\tan (3 x)$ là $\frac{π}{3}$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $\frac{π}{3}$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{3}, \frac{π}{4} + \frac{π n}{3}$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 7

Đặt $\tan (3 x) - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Đặt $\tan (3 x) - 1$ bằng với $0$ .

$\tan (3 x) - 1 = 0$

Bước 7.2

Giải $\tan (3 x) - 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$\tan (3 x) = 1$

Bước 7.2.2

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm tang.

$3 x = \arctan (1)$

Bước 7.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Giá trị chính xác của $\arctan (1)$ là $\frac{π}{4}$ .

$3 x = \frac{π}{4}$

Bước 7.2.4

Chia mỗi số hạng trong $3 x = \frac{π}{4}$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.1

Chia mỗi số hạng trong $3 x = \frac{π}{4}$ cho $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Bước 7.2.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Bước 7.2.4.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Bước 7.2.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Bước 7.2.4.3.2

Nhân $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.3.2.1

Nhân $\frac{π}{4}$ với $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 3}$

Bước 7.2.4.3.2.2

Nhân $4$ với $3$ .

$x = \frac{π}{12}$

Bước 7.2.5

Hàm tang dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy cộng góc tham chiếu từ $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$3 x = π + \frac{π}{4}$

Bước 7.2.6

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.6.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.6.1.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$3 x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Bước 7.2.6.1.2

Kết hợp $π$ và $\frac{4}{4}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Bước 7.2.6.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$3 x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Bước 7.2.6.1.4

Cộng $π \cdot 4$ và $π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.6.1.4.1

Sắp xếp lại $π$ và $4$ .

$3 x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Bước 7.2.6.1.4.2

Cộng $4 \cdot π$ và $π$ .

$3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$

Bước 7.2.6.2

Chia mỗi số hạng trong $3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.6.2.1

Chia mỗi số hạng trong $3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ cho $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

Bước 7.2.6.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.6.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.6.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

Bước 7.2.6.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

Bước 7.2.6.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.6.2.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x = \frac{5 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Bước 7.2.6.2.3.2

Nhân $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.6.2.3.2.1

Nhân $\frac{5 π}{4}$ với $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 3}$

Bước 7.2.6.2.3.2.2

Nhân $4$ với $3$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Bước 7.2.7

Tìm chu kỳ của $\tan (3 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.7.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Bước 7.2.7.2

Thay thế $b$ với $3$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{π}{| 3 |}$

Bước 7.2.7.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $3$ là $3$ .

$\frac{π}{3}$

Bước 7.2.8

Chu kỳ của hàm $\tan (3 x)$ là $\frac{π}{3}$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $\frac{π}{3}$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{3}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{3}$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 8

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(\tan (3 x) + 1) (\tan (3 x) - 1) = 0$ đúng.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{3}, \frac{π}{12} + \frac{π n}{3}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{3}$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 9

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{6}$ , cho mọi số nguyên $n$