Giải tích sơ cấp Ví dụ

$x^{8} - 32 x^{4} + 256 = 0$

Bước 1

Viết lại $x^{8}$ ở dạng ${(x^{4})}^{2}$ .

${(x^{4})}^{2} - 32 x^{4} + 256 = 0$

Bước 2

Giả sử $u = x^{4}$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $x^{4}$ .

$u^{2} - 32 u + 256 = 0$

Bước 3

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại $256$ ở dạng $16^{2}$ .

$u^{2} - 32 u + 16^{2} = 0$

Bước 3.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$32 u = 2 \cdot u \cdot 16$

Bước 3.3

Viết lại đa thức này.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 16 + 16^{2} = 0$

Bước 3.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , trong đó $a = u$ và $b = 16$ .

${(u - 16)}^{2} = 0$

Bước 4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{4}$ .

${(x^{4} - 16)}^{2} = 0$

Bước 5

Viết lại $x^{4}$ ở dạng ${(x^{2})}^{2}$ .

${({(x^{2})}^{2} - 16)}^{2} = 0$

Bước 6

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

${({(x^{2})}^{2} - 4^{2})}^{2} = 0$

Bước 7

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x^{2}$ và $b = 4$ .

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 4))}^{2} = 0$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}))}^{2} = 0$

Bước 8.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 2$ .

${((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)))}^{2} = 0$

Bước 8.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

${((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

Bước 9

Áp dụng quy tắc tích số cho $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ .

${((x^{2} + 4) (x + 2))}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Bước 10

Áp dụng quy tắc tích số cho $(x^{2} + 4) (x + 2)$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Bước 11

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Bước 12

Đặt ${(x^{2} + 4)}^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Đặt ${(x^{2} + 4)}^{2}$ bằng với $0$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

Bước 12.2

Giải ${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Đặt $x^{2} + 4$ bằng $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Bước 12.2.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.2.1

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{2} = - 4$

Bước 12.2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Bước 12.2.2.3

Rút gọn $\pm \sqrt{- 4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.2.3.1

Viết lại $- 4$ ở dạng $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Bước 12.2.2.3.2

Viết lại $\sqrt{- 1 (4)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Bước 12.2.2.3.3

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Bước 12.2.2.3.4

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Bước 12.2.2.3.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm i \cdot 2$

Bước 12.2.2.3.6

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \pm 2 i$

Bước 12.2.2.4

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.2.4.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 2 i$

Bước 12.2.2.4.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 2 i$

Bước 12.2.2.4.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 2 i, - 2 i$

Bước 13

Đặt ${(x + 2)}^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Đặt ${(x + 2)}^{2}$ bằng với $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Bước 13.2

Giải ${(x + 2)}^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Đặt $x + 2$ bằng $0$ .

$x + 2 = 0$

Bước 13.2.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 2$

Bước 14

Đặt ${(x - 2)}^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Đặt ${(x - 2)}^{2}$ bằng với $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Bước 14.2

Giải ${(x - 2)}^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Đặt $x - 2$ bằng $0$ .

$x - 2 = 0$

Bước 14.2.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 15

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho ${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ đúng.

$x = 2 i, - 2 i, - 2, 2$