Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\sec (\frac{θ}{2}) = \cos (\frac{θ}{2})$

Bước 1

Chia mỗi số hạng trong $\sec (\frac{θ}{2}) = \cos (\frac{θ}{2})$ cho $\sec (\frac{θ}{2})$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia mỗi số hạng trong $\sec (\frac{θ}{2}) = \cos (\frac{θ}{2})$ cho $\sec (\frac{θ}{2})$ .

$\frac{\sec (\frac{θ}{2})}{\sec (\frac{θ}{2})} = \frac{\cos (\frac{θ}{2})}{\sec (\frac{θ}{2})}$

Bước 1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\sec (\frac{θ}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sec (\frac{θ}{2})}{\sec (\frac{θ}{2})} = \frac{\cos (\frac{θ}{2})}{\sec (\frac{θ}{2})}$

Bước 1.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$1 = \frac{\cos (\frac{θ}{2})}{\sec (\frac{θ}{2})}$

Bước 1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Viết lại $\sec (\frac{θ}{2})$ theo sin và cosin.

$1 = \frac{\cos (\frac{θ}{2})}{\frac{1}{\cos (\frac{θ}{2})}}$

Bước 1.3.2

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{\cos (\frac{θ}{2})}$ .

$1 = \cos (\frac{θ}{2}) \cos (\frac{θ}{2})$

Bước 1.3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Nâng $\cos (\frac{θ}{2})$ lên lũy thừa $1$ .

$1 = \cos^{1} (\frac{θ}{2}) \cos (\frac{θ}{2})$

Bước 1.3.3.2

Nâng $\cos (\frac{θ}{2})$ lên lũy thừa $1$ .

$1 = \cos^{1} (\frac{θ}{2}) \cos^{1} (\frac{θ}{2})$

Bước 1.3.3.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$1 = {\cos (\frac{θ}{2})}^{1 + 1}$

Bước 1.3.3.4

Cộng $1$ và $1$ .

$1 = \cos^{2} (\frac{θ}{2})$

Bước 2

Viết lại phương trình ở dạng $\cos^{2} (\frac{θ}{2}) = 1$ .

$\cos^{2} (\frac{θ}{2}) = 1$

Bước 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (\frac{θ}{2}) = \pm \sqrt{1}$

Bước 4

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$\cos (\frac{θ}{2}) = \pm 1$

Bước 5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$\cos (\frac{θ}{2}) = 1$

Bước 5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$\cos (\frac{θ}{2}) = - 1$

Bước 5.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$\cos (\frac{θ}{2}) = 1, - 1$

Bước 6

Lập từng đáp án để giải tìm $θ$ .

$\cos (\frac{θ}{2}) = 1$

$\cos (\frac{θ}{2}) = - 1$

Bước 7

Giải tìm $θ$ trong $\cos (\frac{θ}{2}) = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $θ$ từ trong cosin.

$\frac{θ}{2} = \arccos (1)$

Bước 7.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Giá trị chính xác của $\arccos (1)$ là $0$ .

$\frac{θ}{2} = 0$

Bước 7.3

Cho tử bằng không.

$θ = 0$

Bước 7.4

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$\frac{θ}{2} = 2 π - 0$

Bước 7.5

Giải tìm $θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Nhân cả hai vế của phương trình với $2$ .

$2 \frac{θ}{2} = 2 (2 π - 0)$

Bước 7.5.2

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{θ}{2} = 2 (2 π - 0)$

Bước 7.5.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$θ = 2 (2 π - 0)$

Bước 7.5.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.2.2.1

Rút gọn $2 (2 π - 0)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.2.2.1.1

Trừ $0$ khỏi $2 π$ .

$θ = 2 (2 π)$

Bước 7.5.2.2.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$θ = 4 π$

Bước 7.6

Tìm chu kỳ của $\cos (\frac{θ}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 7.6.2

Thay thế $b$ với $\frac{1}{2}$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Bước 7.6.3

$\frac{1}{2}$ xấp xỉ $0.5$ , là một số dương, nên ta loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Bước 7.6.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$2 π \cdot 2$

Bước 7.6.5

Nhân $2$ với $2$ .

$4 π$

Bước 7.7

Chu kỳ của hàm $\cos (\frac{θ}{2})$ là $4 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $4 π$ radian theo cả hai hướng.

$θ = 4 π n, 4 π + 4 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 8

Giải tìm $θ$ trong $\cos (\frac{θ}{2}) = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $θ$ từ trong cosin.

$\frac{θ}{2} = \arccos (- 1)$

Bước 8.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Giá trị chính xác của $\arccos (- 1)$ là $π$ .

$\frac{θ}{2} = π$

Bước 8.3

Nhân cả hai vế của phương trình với $2$ .

$2 \frac{θ}{2} = 2 π$

Bước 8.4

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{θ}{2} = 2 π$

Bước 8.4.1.2

Viết lại biểu thức.

$θ = 2 π$

Bước 8.5

Hàm cosin âm trong góc phần tư thứ hai và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu từ $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$\frac{θ}{2} = 2 π - π$

Bước 8.6

Giải tìm $θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.1

Nhân cả hai vế của phương trình với $2$ .

$2 \frac{θ}{2} = 2 (2 π - π)$

Bước 8.6.2

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{θ}{2} = 2 (2 π - π)$

Bước 8.6.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$θ = 2 (2 π - π)$

Bước 8.6.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.2.2.1

Trừ $π$ khỏi $2 π$ .

$θ = 2 π$

Bước 8.7

Tìm chu kỳ của $\cos (\frac{θ}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.7.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 8.7.2

Thay thế $b$ với $\frac{1}{2}$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Bước 8.7.3

$\frac{1}{2}$ xấp xỉ $0.5$ , là một số dương, nên ta loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Bước 8.7.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$2 π \cdot 2$

Bước 8.7.5

Nhân $2$ với $2$ .

$4 π$

Bước 8.8

Chu kỳ của hàm $\cos (\frac{θ}{2})$ là $4 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $4 π$ radian theo cả hai hướng.

$θ = 2 π + 4 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 9

Liệt kê tất cả các đáp án.

$θ = 4 π n, 4 π + 4 π n, 2 π + 4 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 10

Hợp nhất các câu trả lời.

$θ = 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$